$\triangle ABC$ において、$AB=6, BC=3\sqrt{2}, \sin{\angle ACB}=\frac{\sqrt{14}}{4}$が与えられている。 (1) $\sin{\angle BAC}$ の値を求める。 (2) $\cos{\angle BAC}$ の値を求め、さらに辺 $AC$ の長さを求める。 (3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^{\circ}$ となる点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求め、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求める。

## 解答

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=6, BC=3\sqrt{2}, \sin{\angle ACB}=\frac{\sqrt{14}}{4}$が与えられている。

(1) $\sin{\angle BAC}$ の値を求める。

(2) $\cos{\angle BAC}$ の値を求め、さらに辺 $AC$ の長さを求める。

(3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^{\circ}$ となる点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求め、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = \frac{BC}{\sin{\angle BAC}}$。これに与えられた値を代入して、$\sin{\angle BAC}$ を求める。

(2) $\sin^2{\angle BAC} + \cos^2{\angle BAC} = 1$ より、$\cos{\angle BAC}$ を求める。$\angle ACB$ が鈍角であることより、$\angle BAC$ は鋭角なので、$\cos{\angle BAC} > 0$ であることに注意する。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$。これに与えられた値を代入して、$AC$ を求める。$AC$ の二次方程式を解く。$BC>AC$ より、$AC$ の値が定まる。

(3) $\angle ACD = 90^\circ$ なので、$\triangle ACD$ は直角三角形。$\angle CAD = \angle BAC$ なので、$\cos{\angle CAD}$ の値は (2) で求めた値。$\cos{\angle CAD} = \frac{AD}{AC}$ より、$AD$ を求める。

$CD = AC \sin{\angle CAD} = AC \sin{\angle BAC}$ より、$CD$ を求める。

$\triangle BCD$ の外接円の中心 $O$ は線分 $CD$ の中点である。したがって、$OC = OD = \frac{CD}{2}$。

四角形 $OCDB$ の面積は、$\triangle OCD$ と $\triangle OBD$ の面積の和である。$OC=OD, OB=OB, \angle COD = \angle DOB = \theta$ より、$\triangle OCD \equiv \triangle OBD$。

$BD = AB - AD$

$\triangle OBD$ の面積は $\frac{1}{2}OD \cdot BD \cdot \sin{\angle ADB}$ で求めることができる。

$\angle ADB = 180 - \angle ADC = 90^\circ$ より、$\sin{\angle ADB} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{\angle BAC} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos{\angle BAC} = \frac{3}{4}$

$AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

四角形 $OCDB$ の面積 = $\frac{9}{8}$