三角形ABCにおいて、点Iが内心である。角BICが47度、角IBCが25度であるとき、角βの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iが内心である。角BICが47度、角IBCが25度であるとき、角βの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

三角形ABCの内心Iは、各角の二等分線の交点です。

したがって、角ABCは $2 \times 25^\circ = 50^\circ$ です。

三角形IBCにおいて、角IBCは$25^\circ$、角BICは$47^\circ$なので、角ICBを求めます。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$25^\circ + 47^\circ + \angle ICB = 180^\circ$

$\angle ICB = 180^\circ - 25^\circ - 47^\circ = 108^\circ$

角ICBは角ACBの半分なので、角ACBは $2 \times 108^\circ = 216^\circ$　これはありえないので、角BICが47度ではなく、$180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$だと考えます。

角BICは$133^\circ$とすると、

$25^\circ + 133^\circ + \angle ICB = 180^\circ$

$\angle ICB = 180^\circ - 25^\circ - 133^\circ = 22^\circ$

したがって、角ACBは $2 \times 22^\circ = 44^\circ$

三角形ABCの内角の和は$180^\circ$なので、角BACは、

$\angle BAC = 180^\circ - 50^\circ - 44^\circ = 86^\circ$

点Iは内心なので、角IACは角BACの半分です。

$\angle IAC = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ$

三角形AICの内角の和は$180^\circ$なので、角AICは、

$\angle AIC = 180^\circ - 43^\circ - 22^\circ = 115^\circ$

したがって、$\beta = 115^\circ$

3. 最終的な答え

$\beta = 115^\circ$