四角形ABCDが円に内接しているとき、指定された空欄を埋める問題です。AB=5, BC=2, CD=3, DA=3が与えられています。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しているとき、指定された空欄を埋める問題です。AB=5, BC=2, CD=3, DA=3が与えられています。

2. 解き方の手順

(1)

* 四角形ABCDが円に内接するので、対角の和は180度になることから、サには「180」が入ります。

* $\triangle ABD$において、余弦定理を用いると

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 25 + 9 - 30 \cos{\angle BAD}$

$BD^2 = 34 - 30 \cos{\angle BAD}$

よって、シスには「34」、センには「30」が入ります。

* また、$cos{\angle BCD} = -cos{\angle BAD}$が成り立つので、タには「-cos∠BAD」が入ります。

* $\triangle BCD$において、余弦定理を用いると

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 4 + 9 - 12 \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 13 - 12 \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 13 - 12 (-\cos{\angle BAD})$

$BD^2 = 13 + 12 \cos{\angle BAD}$

* $34 - 30 \cos{\angle BAD} = 13 + 12 \cos{\angle BAD}$より

$21 = 42 \cos{\angle BAD}$

$\cos{\angle BAD} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle BAD = 60^\circ$ となるので、チには「60°」が入ります。

* $\angle BAD = 60^\circ$ を $BD^2 = 13 + 12 \cos{\angle BAD}$ に代入すると

$BD^2 = 13 + 12 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 13 + 6 = 19$

$BD = \sqrt{19}$

よって、ツテには「19」が入ります。

3. 最終的な答え

* サ：180

* シス：34

* セン：30

* タ：-cos∠BAD

* チ：60

* ツテ：19