点Oは三角形ABCの外心です。角αの値を求めます。

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心です。角αの値を求めます。

2. 解き方の手順

外心は、三角形の各頂点から等距離にある点です。つまり、OA = OB = OCです。

したがって、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形になります。

三角形OABにおいて、OA = OBなので、角OBA = 角OAB = $30^\circ$ です。

三角形OACにおいて、OA = OCなので、角OCA = 角OAC = $20^\circ$ です。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、三角形ABCにおいて、

角BAC = $20^\circ + x$

角ABC = $30^\circ$

角BCA = $20^\circ + y$ (ただし、$x+y$は角BAC,角BCAを二分する線によって分けられた角)

角BAC = $20^\circ + 20^\circ$

角ABC = $30^\circ$

角ACB = $\beta$

三角形ABCの内角の和は、$180^\circ$であるから、

$30^\circ + (\beta + 20^\circ) + (20^\circ + 20^\circ) = 180^\circ$

$30^\circ + 40^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ$

$\beta = 110^\circ$

三角形OBCにおいて、OB = OCなので、三角形OBCは二等辺三角形です。

角OBC = 角OCB = $\beta$ なので、

角BOC + 角OBC + 角OCB = $180^\circ$

角BOC + 角$\beta$ + 角$\beta$ = $180^\circ$

よって、角BOCは$\alpha$に等しいので、$\alpha$ = $180^\circ - (\beta + \beta)$

角OBC = 角OCB であるから、

角OBC = 角OCB = $x^\circ$とおくと、

$2x + \alpha = 180^\circ$ となる。

しかし$\beta$が求まっているので代入する。

角BOC = α

$2x + \alpha = 180^\circ$

三角形OBCの内角の和は$180^\circ$なので、

$\alpha = 180^\circ -2\beta$

$\beta = 2(110)$

$\\alpha = 180 - 2 * 20 = 140^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 100^\circ$