円の方程式を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点$(1, 2)$ を通る円の方程式を求めます。 (2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円の方程式を求めます。 (5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。問題文の指示に従い、円の方程式を求める問題について、日本語で回答します。今回は問題(1), (2), (5) を解きます。

1. 問題の内容

円の方程式を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点$(1, 2)$ を通る円の方程式を求めます。

(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円の方程式を求めます。

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ の中心を求めます。

平方完成を行うと、

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{38}{4}$

したがって、中心は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ です。

求める円の方程式を $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = r^2$ とおきます。この円が点 $(1, 2)$ を通るので、

$(1 - \frac{3}{2})^2 + (2 + \frac{5}{2})^2 = r^2$

$(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 = r^2$

$\frac{1}{4} + \frac{81}{4} = r^2$

$r^2 = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}$

したがって、求める円の方程式は

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

$x^2 - 3x + \frac{9}{4} + y^2 + 5y + \frac{25}{4} = \frac{82}{4}$

$x^2 + y^2 - 3x + 5y = \frac{82 - 34}{4}$

$x^2 + y^2 - 3x + 5y = \frac{48}{4} = 12$

$x^2 + y^2 - 3x + 5y - 12 = 0$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ です。点 $(0, 0)$ を点 $(1, -3)$ に関して対称移動した点を $(x', y')$ とすると、

$\frac{0 + x'}{2} = 1, \frac{0 + y'}{2} = -3$

$x' = 2, y' = -6$

したがって、対称な円の中心は $(2, -6)$ です。半径は変わらず 1 なので、求める円の方程式は

$(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$

(5) 求める円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ とおきます。

$x$ 軸と $y$ 軸に接するので、$a = \pm r$, $b = \pm r$ です。

また、点 $(1, 2)$ を通るので、$(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2$ が成り立ちます。

$x$ 軸および $y$ 軸に接する円なので、中心は $(r, r)$, $(-r, r)$, $(r, -r)$, $(-r, -r)$ のいずれかになります。

しかし、点 $(1, 2)$ を通るので、中心は第1象限に存在する必要があります。したがって、中心は $(r, r)$ です。

よって、円の方程式は $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ となります。

点 $(1, 2)$ を通るので、$(1 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$ を満たします。

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1, 5$

したがって、円の方程式は

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 12 = 0$

(2) $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$

(5) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$