点A(-4, 6), B(0, -2), C(4, 0)を頂点とする三角形ABCがある。辺BC上に点Pをとり、辺AC上に点QをPQがy軸と平行になるようにとり、辺AB上に点RをPRがx軸と平行になるようにとる。さらに、四角形PQSRが長方形になるように点Sをとる。 (1) 点Pのx座標を$a$とするとき、PQの長さを$a$の式で表しなさい。 (2) 四角形PQSRが正方形になるとき、点Pのx座標を求めなさい。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

点A(-4, 6), B(0, -2), C(4, 0)を頂点とする三角形ABCがある。辺BC上に点Pをとり、辺AC上に点QをPQがy軸と平行になるようにとり、辺AB上に点RをPRがx軸と平行になるようにとる。さらに、四角形PQSRが長方形になるように点Sをとる。

(1) 点Pのx座標を$a$とするとき、PQの長さを$a$の式で表しなさい。

(2) 四角形PQSRが正方形になるとき、点Pのx座標を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず点Pの座標を$a$で表す。Pは直線BC上にあるので、直線BCの式を求める。

B(0, -2), C(4, 0)を通る直線の式は、傾きが$\frac{0 - (-2)}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$なので、$y = \frac{1}{2}x - 2$となる。

点Pのx座標が$a$なので、点Pの座標は$(a, \frac{1}{2}a - 2)$となる。

次に点Qの座標を求める。PQはy軸と平行なので、点Qのx座標も$a$である。Qは直線AC上にあるので、直線ACの式を求める。

A(-4, 6), C(4, 0)を通る直線の式は、傾きが$\frac{0 - 6}{4 - (-4)} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$なので、$y = -\frac{3}{4}x + b$とおける。

C(4, 0)を通るので、$0 = -\frac{3}{4}(4) + b$より、$b = 3$。よって、直線ACの式は$y = -\frac{3}{4}x + 3$となる。

点Qのx座標が$a$なので、点Qの座標は$(a, -\frac{3}{4}a + 3)$となる。

したがって、PQの長さは、点Qのy座標から点Pのy座標を引いたものになるので、

$PQ = (-\frac{3}{4}a + 3) - (\frac{1}{2}a - 2) = -\frac{3}{4}a + 3 - \frac{1}{2}a + 2 = -\frac{5}{4}a + 5$となる。

(2) 四角形PQSRが正方形になるとき、$PQ = PR$となる。

点Rは直線AB上にあり、PRはx軸と平行なので、点Rのy座標は点Pのy座標と等しく、$\frac{1}{2}a - 2$である。

A(-4, 6), B(0, -2)を通る直線の式は、傾きが$\frac{-2 - 6}{0 - (-4)} = \frac{-8}{4} = -2$なので、$y = -2x - 2$となる。

点Rのy座標が$\frac{1}{2}a - 2$なので、$\frac{1}{2}a - 2 = -2x - 2$より、$x = -\frac{1}{4}a$。よって、点Rの座標は$(-\frac{1}{4}a, \frac{1}{2}a - 2)$となる。

$PR = a - (-\frac{1}{4}a) = \frac{5}{4}a$である。

したがって、$PQ = PR$より、$-\frac{5}{4}a + 5 = \frac{5}{4}a$。

$\frac{10}{4}a = 5$より、$a = 2$となる。

3. 最終的な答え

(1) $PQ = -\frac{5}{4}a + 5$

(2) $a = 2$