$\triangle OAB$において、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$とおく。辺$AB$を$|\vec{a}|:|\vec{b}|$の比に内分する点を$D$とし、$\angle AOD = \alpha$、$\angle BOD = \beta$とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\cos\alpha$を$\vec{a}$と$\overrightarrow{OD}$を用いて表せ。 (2) $\overrightarrow{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。 (3) $\cos\alpha = \cos\beta$であり、$\alpha = \beta$であることを証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$とおく。辺$AB$を$|\vec{a}|:|\vec{b}|$の比に内分する点を$D$とし、$\angle AOD = \alpha$、$\angle BOD = \beta$とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\cos\alpha$を$\vec{a}$と$\overrightarrow{OD}$を用いて表せ。

(2) $\overrightarrow{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表せ。

(3) $\cos\alpha = \cos\beta$であり、$\alpha = \beta$であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos\alpha$を$\vec{a}$と$\overrightarrow{OD}$を用いて表す。

$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \overrightarrow{OD}}{|\vec{a}| |\overrightarrow{OD}|}$

(2) $\overrightarrow{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

点$D$は辺$AB$を$|\vec{a}|:|\vec{b}|$に内分する点であるから、

$\overrightarrow{OD} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

(3) $\cos\alpha = \cos\beta$であり、$\alpha = \beta$であることを証明する。

まず$\cos\beta$を求める。

$\cos\beta = \frac{\vec{b} \cdot \overrightarrow{OD}}{|\vec{b}| |\overrightarrow{OD}|}$

$\overrightarrow{OD} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$を代入すると、

$\cos\beta = \frac{\vec{b} \cdot \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}}{|\vec{b}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{\frac{|\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}|^2}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}}{|\vec{b}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{|\vec{b}|(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}|^2}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{b}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}||\vec{b}|}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\overrightarrow{OD}|}$

次に$\cos\alpha$を求める。

$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \overrightarrow{OD}}{|\vec{a}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{\vec{a} \cdot \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}}{|\vec{a}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{\frac{|\vec{b}||\vec{a}|^2 + |\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b})}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}}{|\vec{a}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{|\vec{b}||\vec{a}|^2 + |\vec{a}|(\vec{a} \cdot \vec{b})}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\vec{a}| |\overrightarrow{OD}|} = \frac{|\vec{b}||\vec{a}| + \vec{a} \cdot \vec{b}}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|)|\overrightarrow{OD}|}$

$\cos\alpha = \frac{|\vec{a}||\vec{b}| + \vec{a}\cdot\vec{b}}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|) |\overrightarrow{OD}|}$

$\cos\beta = \frac{|\vec{a}||\vec{b}| + \vec{a}\cdot\vec{b}}{(|\vec{a}| + |\vec{b}|) |\overrightarrow{OD}|}$

よって、$\cos\alpha = \cos\beta$が成り立つ。

ここで、$0 < \alpha < \pi$、$0 < \beta < \pi$ である。

$\cos$関数は、$0 < x < \pi$の範囲で単調減少であるから、$\cos\alpha = \cos\beta$ ならば $\alpha = \beta$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \overrightarrow{OD}}{|\vec{a}| |\overrightarrow{OD}|}$

(2) $\overrightarrow{OD} = \frac{|\vec{b}|\vec{a} + |\vec{a}|\vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$

(3) 証明終わり