ひし形ABCDにおいて、AB = 10、AC = 16とする。対角線の交点をOとする。 (1) sin∠BACの値を求め、△ABCの外接円の半径R1を求める。 (2) ひし形を線分BDで折り曲げ、∠AOC = 120°となるようにする。このときのACの長さを求め、△ABCの外接円の半径R2とR1の関係を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

ひし形ABCDにおいて、AB = 10、AC = 16とする。対角線の交点をOとする。

(1) sin∠BACの値を求め、△ABCの外接円の半径R1を求める。

(2) ひし形を線分BDで折り曲げ、∠AOC = 120°となるようにする。このときのACの長さを求め、△ABCの外接円の半径R2とR1の関係を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ひし形の対角線は互いに垂直に2等分するので、AO = AC/2 = 16/2 = 8。

△ABOは直角三角形なので、三平方の定理より、

$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

よって、BO = 6。

したがって、sin∠BAC = BO/AB = 6/10 = 3/5。

△ABCにおいて、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin∠BAC} = 2R_1$

BC = AB = 10 なので、

$\frac{10}{3/5} = 2R_1$

$\frac{50}{3} = 2R_1$

$R_1 = \frac{25}{3}$

(2)

△AOCにおいて、余弦定理より、

$AC^2 = AO^2 + CO^2 - 2 \cdot AO \cdot CO \cdot \cos{120^\circ}$

$AO = CO = 8$ なので、

$AC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 64 + 64 + 64 = 192$

$AC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$

△ABCにおいて、余弦定理より、

$\cos∠ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$

$AC = 8\sqrt{3}$なので、$AC^2=192$

$\cos∠ABC = \frac{10^2 + 10^2 - (8\sqrt{3})^2}{2 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{100+100-192}{200}=\frac{8}{200} = \frac{1}{25}$

$\sin^2∠ABC = 1 - \cos^2∠ABC = 1 - (\frac{1}{25})^2 = 1-\frac{1}{625} = \frac{624}{625}$

$\sin∠ABC = \sqrt{\frac{624}{625}}=\frac{\sqrt{624}}{25}$

△ABCにおいて、正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin∠ABC} = 2R_2$

$\frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{624}}{25}} = 2R_2$

$R_2=\frac{8\sqrt{3} \cdot 25}{2\sqrt{624}}=\frac{100\sqrt{3}}{ \sqrt{624}} = \frac{100\sqrt{3}}{ 4\sqrt{39}}=\frac{25\sqrt{3}}{\sqrt{39}}=\frac{25}{\sqrt{13}}=\frac{25\sqrt{13}}{13}$

$R_1=\frac{25}{3}$

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{25}{3} \div \frac{25\sqrt{13}}{13} = \frac{25}{3} \cdot \frac{13}{25\sqrt{13}}=\frac{13}{3\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

よって$R_1 = \frac{\sqrt{13}}{3}R_2$

3. 最終的な答え

(1) sin∠BAC = 3/5、R1 = 25/3

(2) AC = 8√3、R1はR2の√13/3倍である。

ア：3

イ：5

ウエ：25

オ：3

カ：8

キ：3

クケ：13

コ：3