三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rについて、OとIが一致しない場合にR, rとOIの関係を調べる問題です。指定された解答群から適切な選択肢を選び、空欄を埋めていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rについて、OとIが一致しない場合にR, rとOIの関係を調べる問題です。指定された解答群から適切な選択肢を選び、空欄を埋めていきます。

2. 解き方の手順

まず、△AHIと△EBDの相似に着目します。

* ∠HAI = ∠BAI = ∠BED (円周角の定理)

* ∠AHI = ∠EBD = 90°

したがって、△AHI ∽ △EBD なので、対応する辺の比が等しくなります。

ED : AI = BD : HI

したがって、空欄アには③BDが入ります。

次に、AI * ウ = 2rR が成り立つことから、ウを求めます。

これはオイラーの定理に関連する事実です。証明は省略しますが、AI * DI = 2rR が成り立ちます。

したがって、AI * ウ = AI * DI = 2rRなので、空欄ウには2が入ります。

次に、△DBIにおいて、∠DIB=∠DBIとなることを示します。

∠DIB = ∠IAB + ∠ABI = ∠CAD + ∠ABI

∠DBI = ∠CBD + ∠CBI

∠CAD = ∠CBD (円周角の定理), ∠ABI = ∠CBI

したがって、∠DIB = ∠DBIとなり、△DBIは二等辺三角形となります。

ゆえに、DB = DIであり、空欄イには④DBIが入ります。

したがって、DB = DI なので、空欄エには①CADが入ります。

次に、方べきの定理を利用します。

AI * ID = FI * GI

ここで、FI = FO + OI = R + OI, GI = GO - OI = R - OI

AI * DI = (R + OI)(R - OI) = $R^2 - OI^2$

したがって、空欄カには⑤OIが入ります。

また、空欄キには⑤OIが入ります。

最後に、①, ②, ③より$OI^2 = R^2 - 2Rr$が導けます。

したがって、空欄クには④2rRが入ります。

3. 最終的な答え

* ア: ③

* イ: ④

* ウ: 2

* エ: ①

* オ: ⑤

* カ: ⑤

* キ: ⑤

* ク: ④