三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rについて、OとIが一致しない場合にR, r, OIの関係を調べる問題です。いくつかの空欄を、指定された解答群から選択するか、数字を答える必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rについて、OとIが一致しない場合にR, r, OIの関係を調べる問題です。いくつかの空欄を、指定された解答群から選択するか、数字を答える必要があります。

2. 解き方の手順

順に空欄を埋めていきます。

(ア) $\triangle AHI$と$\triangle EBD$において、$\angle HAI = \angle BAD = \angle BED$なので、答えは①AIHです。

(イ) $\triangle AHI$と$\triangle EBD$は相似であり、$\angle AHI = \angle EBD = 90^\circ$なので、相似比は$ED:AI=BD:AH$。したがって$ED:AI = BD:AI$。よって$\dfrac{ED}{AI} = \dfrac{BD}{AI}$。ゆえに$AI = BD$

$\dfrac{AI}{r}=\dfrac{BD}{HI}$. 解答群から$AI$と$HI$と近いものを選ぶと$BD:HI$

(ウ) $\dfrac{AI}{\sin(\angle ACI)} = 2R$であり，$sin(\angle ACI) = \dfrac{r}{AI}$だから、$AI:HI$で$ED:AI=BD:IH$が成り立つ。よって$\angle HAI=\angle BAD = \angle BED$ (円周角の定理)、$\angle AHI = \angle EBD = 90^\circ$

したがって、$\triangle AHI \sim \triangle EBD$であるから、$\dfrac{ED}{AI}=\dfrac{BD}{HI}$、$AI=BD$より、$\dfrac{ED}{AI}=\dfrac{AI}{HI}$が成り立つ。ゆえに$AI^2=ED*HI$

$AI = \dfrac{2R\cos A}{2r}$

解答群から選択すると$DI$

(エ) $\triangle DBI$において、$\angle DIB = \angle ABI + \angle BAI$, $\angle DBI = \angle CBD + \angle CBI$, $\angle ABI = \angle CBI$, $\angle BAI = \angle CAD = \angle CBD$であるから、$\angle DIB = \angle ABI+\angle BAI=\angle CBI+\angle CBD = \angle DBI$. よって答えは②BAI。

(オ) $\angle DIB = \angle DBI$なので、$\triangle DBI$は二等辺三角形となり、$BD = DI$. したがって②BD。

(カ) 方べきの定理により、$AI \cdot ID = FI \cdot GI = (FO + OI)(GO - OI) = R^2 - OI^2$. ゆえに$AI \cdot ID$だから⑤OI。

(キ) 上記の計算より、(FO + OI)(GO - OI)。 したがって⑤OI。

(ク) 上記の式$AI \cdot ID = FI \cdot GI = (FO + OI)(GO - OI) = R^2 - OI^2$を変形して、$OI^2 = R^2 - 2Rr$より、-2Rr. したがって④2rR。

3. 最終的な答え

(ア) ①AIH

(イ) ②BD

(ウ) なし

(エ) ②BAI

(オ) ②BD

(カ) ⑤OI

(キ) ⑤OI

(ク) ④2rR