三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OとIが一致しない場合にR,rとOIの関係を調べる問題です。空欄を埋めていく形式で、角度の関係や相似、方べきの定理などを用いて、最終的に$OI^2$の関係式を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられたとき、OとIが一致しない場合にR,rとOIの関係を調べる問題です。空欄を埋めていく形式で、角度の関係や相似、方べきの定理などを用いて、最終的に$OI^2$の関係式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\angle HAI = \angle BAI$であり、解答群から適切なものを選択すると、$\angle HAI = \angle BAI$となります。

次に、$\triangle AHI$と$\triangle EBD$は相似なので、$ED:AI = BD:HI$が成り立ち、$ED:AI = BD:HI$である。よって、$ED : AI = BD: HI$となり、$BD$を選ぶ。

次に、 $AI : r = \sqrt{BD^2 + AD^2} : r$は成り立たない。$AI: r= \sqrt{r^2+HI^2} =ウ R$より，$2R$。

次に、$\angle DIB$について、$\angle DIB = \angle ABI + \angle BAI$ 、$\angle DIB = \angle CBI + \angle CAD$ から$\angle BAI$となります。

$\angle DIB = \angle DBI$より、$\triangle DBI$は二等辺三角形であり、$BD=ID$。

方べきの定理より、$AI \cdot ID = (FO + OI)(GO - OI) = R^2 - OI^2$。

よって、$AI \cdot BD = (FO+OI)(GO-OI) = R^2 - OI^2$ が成立する。ここで、$ID = BD$である。

①、②、③から$OI^2 = R^2 - 2Rr$が成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: ③　BAI

イ: ②　BD

ウ: 2

エ: ①　BAI

オ: ③　DBI

カ: ②　BD

キ: ⑤　OI

ク: ④　2rR