問題は、直角二等辺三角形ABCにおいて、辺BC上に点Pを取り、ABに関するPの対称点をQ、ACに関するPの対称点をRとする。 (1) BP=2のとき、三角形AQRの面積を求める。 (2) 三角形AQRの面積が三角形ABCの面積の3/2倍に等しいとき、BPの長さを求める。

1. 問題の内容

問題は、直角二等辺三角形ABCにおいて、辺BC上に点Pを取り、ABに関するPの対称点をQ、ACに関するPの対称点をRとする。

(1) BP=2のとき、三角形AQRの面積を求める。

(2) 三角形AQRの面積が三角形ABCの面積の3/2倍に等しいとき、BPの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) BP = 2のとき

CR = BP = 2となる。

したがって、PC = BC - BP = 4 - 2 = 2。

同様に、RC = AC - AR = 4-2 =2であるためAR = 2となる。

よって、三角形AQRの面積は、

$\frac{1}{2} \times AQ \times AR = \frac{1}{2} \times (4-2) \times (4-2) = \frac{1}{2} \times 4 \times 4$

$\triangle AQR = 12$

(2) BP = xとおく。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

三角形AQRの面積は、三角形ABCの面積の3/2倍なので、

$8 \times \frac{3}{2} = 12$

AR = AC-RC = 4-(4-x)= x

AQ = AB-QB = AB-BP = AB-x

QからACに垂線を下ろし、その交点をHとする。すると$\triangle ABC \sim \triangle AHQ$なので

AQ : AB = HQ : BC = AH : AC

$\angle QAH = \angle BAC = 45^\circ$なので $\triangle AHQ$も直角二等辺三角形。

$AH = HQ$なので、

$\frac{AQ}{AB} = \frac{AH}{AC}$

ここで、$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

三角形AQRの面積は、

$\frac{1}{2}AQ \times AR= \frac{1}{2}(AQ)(x)$

$\frac{1}{2}(AQ)(x) = 12$

$AQ = \frac{24}{x}$

$\frac{24/x}{4\sqrt{2}} = \frac{AH}{4}$

$AH = \frac{24}{4\sqrt{2}x}= \frac{6}{\sqrt{2}x}$

$AQ = AH\sqrt{2}=\frac{6}{x}$

よって、

$\frac{24}{x} = \frac{6}{x}$　これは矛盾。

別解

$\triangle AQR=12$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4= 8$

$\triangle AQR = \frac{3}{2}\triangle ABC = \frac{3}{2} \times 8 = 12$

$BP = x$ とおくと、$PC = 4-x$

また、$CR = BP = x$ であるから、$AR = 4-x$

同様に、$BQ = BP = x$ であり、$AQ= \sqrt{32-8\sqrt{2}x + x^2}$

したがって、$S_{\triangle AQR} = \frac{1}{2} AR\times AQ = \frac{1}{2}(4-x)(4-x)=12$

$(4-x)^2=24$

$4-x = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$x = 4-2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) $4 - 2\sqrt{6}$