ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ と $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 3)$ と $\vec{b} = (-1, 3, 2)$ の両方に直交する単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交するベクトルを求めるために、外積を計算します。

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\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (3)(3) \\ (3)(-1) - (2)(2) \\ (2)(3) - (1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ -3 - 4 \\ 6 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -7 \\ 7 \end{pmatrix}

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$\vec{a} \times \vec{b} = (-7, -7, 7)$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に直交するベクトルです。

次に、このベクトルの長さを計算します。

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||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2 + (7)^2} = \sqrt{49 + 49 + 49} = \sqrt{3 \times 49} = 7\sqrt{3}

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最後に、$\vec{a} \times \vec{b}$ をその長さで割って、単位ベクトルを求めます。

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\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{(-7, -7, 7)}{7\sqrt{3}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)

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また、逆向きの単位ベクトルも解となるので、

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-\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{(7, 7, -7)}{7\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)

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以上より、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交する単位ベクトルは $\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ と $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ です。

3. 最終的な答え

$\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$, $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$