三角形 $ABC$ の外心を $O$、内心を $I$、外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$ とする。$O$ と $I$ が一致しない場合に、$R$、$r$ と $OI$ の関係を調べる問題です。空欄を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

三角形 $ABC$ の外心を $O$、内心を $I$、外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$ とする。$O$ と $I$ が一致しない場合に、$R$、$r$ と $OI$ の関係を調べる問題です。空欄を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

(ア) $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ において、

$\angle HAI = \angle BAI$ であり、 $\angle BAI$ は弧 $BD$ に対する円周角なので、$\angle BED$ に等しい。

$\angle HAI = \angle BED$

また、$\angle AHI = \angle EBD = 90^{\circ}$ であるから、$\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は相似である。

(イ) $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ が相似なので、対応する辺の比は等しい。

$ED : AI = BD : AI = BE : HI$

$ED : AI = BD : AI= BE: HI$ではないので、

$ED : AI = HI : BE$

(ウ) $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ が相似なので、

$ED : AI = BD: HI$なので、$ED: AI=BE:AI$ではないので

$\frac{AI}{r} = \frac{BD}{HI}$ではないので、

$\frac{AI}{\sin \angle ABI} = \frac{r}{R}$より、$AI = \frac{r}{\sin \angle ABI}$

$\frac{AI}{r} = \text{定数}$となることはない。

よってウは数は答えられない。

(エ) 次に $\triangle DBI$ において、

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$

$\angle DBI = \angle CBD + \angle CBI$

$\angle ABI = \angle CBI$、$\angle DAI = \angle CAD = \angle CBD$ であるから、

$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI = \angle CBD + \angle CBI = \angle DBI$

(オ) $\angle DIB = \angle DBI$ なので、$\triangle DBI$ は二等辺三角形である。

したがって、$BD = ID$

(カ、キ) 方べきの定理により、

$AI \cdot ID = FI \cdot IG$

$AI \cdot BD = (FO + OI) (GO - OI) = R^2 - OI^2$

(ク) オイラーの定理より、$OI^2 = R^2 - 2Rr$

したがって、$OI^2 = R^2 - 2Rr$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 5

ウ: 答えられない

エ: 5

オ: 2

カ: 2

キ: 5

ク: 4