三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられている。OとIが一致しない場合、R, r と OIの関係を調べる問題。空欄アからクに当てはまる選択肢を選ぶとともに、空欄ウに当てはまる数を答える。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rが与えられている。OとIが一致しない場合、R, r と OIの関係を調べる問題。空欄アからクに当てはまる選択肢を選ぶとともに、空欄ウに当てはまる数を答える。

2. 解き方の手順

* $\angle HAI = \angle BAI$ （内心Iは角の二等分線上にあるため）

* $\triangle AHI$ と $\triangle EBD$ は相似であるから、$\frac{ED}{AI} = \frac{BD}{AH} = \frac{BE}{AI}$.　よって、$ED:AI = BD:AH = BE:AI$ が成り立つ。$\angle HAI = \angle BED$, $\angle AHI = \angle EBD=90^\circ$ であるから相似で、$ED:AI = BD:AI$ が成り立ち、相似比は $HI$ である。ゆえに、$ED:AI = AI:HI$

* $AI \cdot AI = BD \cdot HI$

* $\frac{AI}{HI} = \frac{r}{R}$. よって、$AI=2R\cos A$

* $\angle DIB = \angle ABI + \angle BAI$

* $\angle DBI = \angle CBD + \angle CBI$

* $\angle ABI = \angle CBI$ なので、$\angle BAI = \angle CAD = \angle CBD$. よって $\angle DIB = \angle DBI$.

* $\triangle DBI$ は二等辺三角形なので、$BD = ID$.

* 方べきの定理より、$AI \cdot ID = FO \cdot OG = (FO + OI) \cdot (GO - OI) = R^2 - OI^2$.

空欄を埋めていく。

ア: $\angle BAI$

イ: $AI$

ウ: 2

エ: $\angle ABI$

オ: $\angle DBI$

カ: $DI$

キ: $OI$

ク: $2rR$

(1), (2), (3)から、$OI^2 = R^2 - 2Rr$が成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 0

ウ: 2

エ: 0

オ: 3

カ: 3

キ: 5

ク: 4