問題は、与えられた点と直線に関する問題を解くことです。具体的には、2点の中点、点対称な点、特定の条件を満たす直線の方程式、2点を通る直線の方程式、2直線の交点を通る直線の方程式、ある点を通って与えられた直線に平行または垂直な直線の方程式、点と直線の距離を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、与えられた点と直線に関する問題を解くことです。具体的には、2点の中点、点対称な点、特定の条件を満たす直線の方程式、2点を通る直線の方程式、2直線の交点を通る直線の方程式、ある点を通って与えられた直線に平行または垂直な直線の方程式、点と直線の距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題3

(1) 線分ABの中点Mの座標が(1,2)であるとき、A(a,b), B(4,3)なので、中点の座標は$\left(\frac{a+4}{2}, \frac{b+3}{2}\right)$と表せます。

したがって、

$\frac{a+4}{2}=1$ と $\frac{b+3}{2}=2$

これを解くと、$a=-2$, $b=1$となります。

(2) 点M(-2,6)に関して、点A(8,9)と対称な点B(x,y)とすると、Mは線分ABの中点なので、

$\frac{x+8}{2}=-2$ と $\frac{y+9}{2}=6$

これを解くと、$x=-12$, $y=3$となります。

問題4

(1) 点(1,2)を通り、傾きが3の直線の方程式は、

$y-2=3(x-1)$

$y=3x-3+2$

$y=3x-1$

(2) 点(-4,0)を通り、傾きが-2の直線の方程式は、

$y-0=-2(x-(-4))$

$y=-2(x+4)$

$y=-2x-8$

問題5

(1) A(-1, 2), B(3, 8)を通る直線の方程式は、傾きは$\frac{8-2}{3-(-1)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

よって、$y-2 = \frac{3}{2}(x-(-1))$

$y-2 = \frac{3}{2}(x+1)$

$2(y-2) = 3(x+1)$

$2y-4 = 3x+3$

$2y = 3x+7$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$

$3x - 2y + 7 = 0$

(2) A(3, -1), B(-1, 7)を通る直線の方程式は、傾きは$\frac{7-(-1)}{-1-3} = \frac{8}{-4} = -2$

よって、$y-(-1) = -2(x-3)$

$y+1 = -2x+6$

$y = -2x+5$

$2x + y - 5 = 0$

(3) A(3, 0), B(0, 4)を通る直線の方程式は、$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

$4x+3y=12$

$4x+3y-12=0$

(4) A(-6, -2), B(-6, 3)を通る直線の方程式は、$x = -6$

問題6

2直線の交点を求める。

$3x+y-5=0$ と $4x+3y-10=0$

$3x+y=5$ から $y=5-3x$

$4x+3(5-3x)-10=0$

$4x+15-9x-10=0$

$-5x+5=0$

$x=1$

$y=5-3(1)=2$

交点は(1,2)。

(1,2)と(-1,-4)を通る直線の方程式は、傾きは$\frac{-4-2}{-1-1} = \frac{-6}{-2} = 3$

$y-2 = 3(x-1)$

$y-2 = 3x-3$

$y = 3x-1$

$3x-y-1=0$

問題7

(1) y=4x-1に平行なので傾きは4。点(-1,2)を通るから、

$y-2=4(x-(-1))$

$y-2=4(x+1)$

$y-2=4x+4$

$y=4x+6$

(2) 2x+y+4=0はy=-2x-4だから傾きは-2。点(5,-3)を通るから、

$y-(-3)=-2(x-5)$

$y+3=-2x+10$

$y=-2x+7$

問題8

(1) y=3x+5に垂直なので傾きは$-\frac{1}{3}$。点(6,-4)を通るから、

$y-(-4)=-\frac{1}{3}(x-6)$

$y+4=-\frac{1}{3}x+2$

$y=-\frac{1}{3}x-2$

(2) 4x+y+2=0はy=-4x-2だから傾きは-4。これに垂直な直線の傾きは$\frac{1}{4}$。点(1,-2)を通るから、

$y-(-2)=\frac{1}{4}(x-1)$

$y+2=\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}$

$y=\frac{1}{4}x-\frac{9}{4}$

問題9

(1) 点(-1,2)と直線3x+4y+5=0の距離は、

$\frac{|3(-1)+4(2)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-3+8+5|}{\sqrt{9+16}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

(2) 点(3,1)と直線x-3y-2=0の距離は、

$\frac{|1(3)-3(1)-2|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{|3-3-2|}{\sqrt{1+9}} = \frac{|-2|}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(3) 原点Oと直線x+y+2=0の距離は、

$\frac{|1(0)+1(0)+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

(4) 原点Oと直線x-2y-10=0の距離は、

$\frac{|1(0)-2(0)-10|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{1+4}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

問題3

(1) A(-2, 1)

(2) B(-12, 3)

問題4

(1) y = 3x - 1

(2) y = -2x - 8

問題5

(1) 3x - 2y + 7 = 0

(2) 2x + y - 5 = 0

(3) 4x + 3y - 12 = 0

(4) x = -6

問題6

3x - y - 1 = 0

問題7

(1) y = 4x + 6

(2) y = -2x + 7

問題8

(1) $y = -\frac{1}{3}x - 2$

(2) $y = \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}$

問題9

(1) 2

(2) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(3) $\sqrt{2}$

(4) $2\sqrt{5}$