与えられた問題の中から、15番の問題を解きます。問題は、点A(0, 5)から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の方程式を求め、接点の座標を求める、というものです。

1. 問題の内容

与えられた問題の中から、15番の問題を解きます。問題は、点A(0, 5)から円 $x^2 + y^2 = 9$ に引いた接線の方程式を求め、接点の座標を求める、というものです。

2. 解き方の手順

まず、接点を $(x_1, y_1)$ とおきます。接点は円 $x^2 + y^2 = 9$ 上にあるので、

$x_1^2 + y_1^2 = 9$ が成り立ちます。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられるので、

接線の方程式は $x_1x + y_1y = 9$ となります。

この接線は点A(0, 5)を通るので、$x=0$, $y=5$ を代入すると、

$x_1 \cdot 0 + y_1 \cdot 5 = 9$

$5y_1 = 9$

$y_1 = \frac{9}{5}$

これを $x_1^2 + y_1^2 = 9$ に代入すると、

$x_1^2 + \left(\frac{9}{5}\right)^2 = 9$

$x_1^2 + \frac{81}{25} = 9$

$x_1^2 = 9 - \frac{81}{25} = \frac{225 - 81}{25} = \frac{144}{25}$

$x_1 = \pm \sqrt{\frac{144}{25}} = \pm \frac{12}{5}$

したがって、接点の座標は $\left(\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ と $\left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ の2つです。

それぞれの接点に対する接線の方程式は、

$\frac{12}{5}x + \frac{9}{5}y = 9$

$12x + 9y = 45$

$4x + 3y = 15$

と

$-\frac{12}{5}x + \frac{9}{5}y = 9$

$-12x + 9y = 45$

$-4x + 3y = 15$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $4x + 3y = 15$ と $-4x + 3y = 15$ です。

接点の座標は $\left(\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ と $\left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ です。