円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = x + m$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = x + m$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円と直線が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 円と直線が接するとき、定数 $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つ条件を求めます。

$y = x + m$ を $x^2 + y^2 = 2$ に代入すると、

$x^2 + (x + m)^2 = 2$

$x^2 + x^2 + 2mx + m^2 = 2$

$2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0$

この2次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ です。

$D = (2m)^2 - 4(2)(m^2 - 2) = 4m^2 - 8m^2 + 16 = -4m^2 + 16$

$D \ge 0$ より、

$-4m^2 + 16 \ge 0$

$4m^2 \le 16$

$m^2 \le 4$

$-2 \le m \le 2$

(2) 円と直線が接するとき、判別式 $D = 0$ となります。

$-4m^2 + 16 = 0$

$4m^2 = 16$

$m^2 = 4$

$m = \pm 2$

3. 最終的な答え

(1) $-2 \le m \le 2$

(2) $m = 2, -2$