面積が1の三角形 $P_1Q_1R_1$ があり、$P_1Q_1R_1$の各辺の中点を頂点とする三角形 $P_2Q_2R_2$ を作る。同様に、三角形 $P_nQ_nR_n$ の各辺の中点を頂点とする三角形 $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}$ を作る。三角形 $P_nQ_nR_n$ の面積を $S_n$ とするとき、数列 $\{S_n\}$ は初項1、公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比数列である。この無限等比級数の和 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

面積が1の三角形 $P_1Q_1R_1$ があり、$P_1Q_1R_1$の各辺の中点を頂点とする三角形 $P_2Q_2R_2$ を作る。同様に、三角形 $P_nQ_nR_n$ の各辺の中点を頂点とする三角形 $P_{n+1}Q_{n+1}R_{n+1}$ を作る。三角形 $P_nQ_nR_n$ の面積を $S_n$ とするとき、数列 $\{S_n\}$ は初項1、公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比数列である。この無限等比級数の和 $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

無限等比級数の和の公式は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、 $|r| < 1$ のとき、

$$\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} = \frac{a}{1-r}$$

で与えられます。

この問題の場合、初項 $a = S_1 = 1$ で、公比 $r = \frac{1}{4}$ ですから、無限等比級数の和は

$$\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$