$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 5$, $\angle BAC = 120^\circ$ とする。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AD$ と $BD$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 5$, $\angle BAC = 120^\circ$ とする。$\angle BAC$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき、$AD$ と $BD$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\triangle ABC$ において余弦定理を用いて $BC$ の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$BC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ$

$BC^2 = 16 + 25 - 40 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 41 + 20 = 61$

$BC = \sqrt{61}$

(2) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 4:5$ である。したがって、

$BD = \frac{4}{4+5} BC = \frac{4}{9} \sqrt{61}$

(3) 次に、$AD$ の長さを求める。$\triangle ABD$ の面積と $\triangle ACD$ の面積の和が $\triangle ABC$ の面積に等しいことを用いる。

$\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin 60^\circ + \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ$

$AB \cdot AD \cdot \sin 60^\circ + AC \cdot AD \cdot \sin 60^\circ = AB \cdot AC \cdot \sin 120^\circ$

$(AB + AC) AD \sin 60^\circ = AB \cdot AC \sin 120^\circ$

$(4+5)AD = 4 \cdot 5$

$9AD = 20$

$AD = \frac{20}{9}$

(4) $BD = \frac{4}{9} \sqrt{61} = \frac{4 \sqrt{61}}{9}$

3. 最終的な答え

$AD = \frac{20}{9}$

$BD = \frac{4\sqrt{61}}{9}$