長方形ABCDがあり、AB = 5cm、BC = 9cmである。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。 (1) BPの長さを求めよ。 (2) AG:GQ:QDの比を求めよ。 (3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB = 5cm、BC = 9cmである。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。

(1) BPの長さを求めよ。

(2) AG:GQ:QDの比を求めよ。

(3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さを求める。

三角形EBPは、線分PQを折り目とした折り返しによって、三角形CBPが移動したものである。

したがって、EP = CPである。

三角形EBPにおいて、ピタゴラスの定理より、

$EB^2 + BP^2 = EP^2$

ここで、EP = CP = 9 - BPなので、

$3^2 + BP^2 = (9 - BP)^2$

$9 + BP^2 = 81 - 18BP + BP^2$

$18BP = 72$

$BP = 4$

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

点Fは点Dが折り返された点なので、FD=AD=5となる。また、角FPQ = 角DPQ。

AD//BCより、角DPQ = 角BPC。また、角CBP = 90度なので、角FPQ + 角BPC = 180度となることはない。

角FPQ = 角DPQ = 角CPE。

AB//CDより、角AQD = 角EAGとなる。

△AEGと△QDGにおいて、角EAG = 角DQG、角AGE = 角DGOなので、△AEGと△QDGは相似である。

したがって、AG : QG = AE : QDである。

また、AE = AB - BE = 5 - 3 = 2である。

CQ = CE = 3なので、QD = CD - CQ = 5 - 3 = 2である。

したがって、AG : QG = AE : QD = 2 : 2 = 1 : 1

ゆえに、AG = QGである。

AQ = AG + GQ = AG + AG = 2AG

AQ + QD = AD = 5

2AG + QD = 5

△AEGと△QDGが相似なので、AG:QG = AE:QD = 2 : QD

QG = AGより、AG : AG = 2 : QD

QD = 2

しかしこれは矛盾する。

△AQDと△AEGにおいて

角QAD = 角AEG = 90度

角AQD = 角AGE

よって相似

QD/AE=AQ/AGなので、

AD = 5, BE = 3, AE = 2, EP = CP = 5

BP = 4

CQ = EP = 5, QD = 4

QD/AE=4/2=2 なので AQ=2AG

AQ + QG = AE + EG

GQ = (3/2)ADなので GQ = 7.5

AG : GQ : QD = 1:2:3

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

3. 最終的な答え

(1) BP = 4 cm

(2) AG:GQ:QD = 2:3:4

(3) 四角形EPQGの面積