三角形ABCにおいて、$AB=7\sqrt{3}$、$\angle ACB=60^\circ$とする。 (1) 三角形ABCの外接円の半径を求める。 (2) 外接円上の点Cを含む弧AB上で点Pを動かすとき、$2PA=3PB$となるような$PA$の値を求める。 (3) 三角形PABの面積が最大となるような$PA$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7\sqrt{3}$、$\angle ACB=60^\circ$とする。

(1) 三角形ABCの外接円の半径を求める。

(2) 外接円上の点Cを含む弧AB上で点Pを動かすとき、$2PA=3PB$となるような$PA$の値を求める。

(3) 三角形PABの面積が最大となるような$PA$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB}=2R$

$AB=7\sqrt{3}$、$\angle ACB=60^\circ$なので、

$\frac{7\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}=2R$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$7\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R$

$14 = 2R$

$R=7$

(2) $2PA=3PB$となるとき、$PA$の値を求める。

$PA = x$とおくと、$PB = \frac{2}{3}x$となる。

$\angle APB = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

余弦定理より、

$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2PA \cdot PB \cos \angle APB$

$(7\sqrt{3})^2 = x^2 + (\frac{2}{3}x)^2 - 2x \cdot \frac{2}{3}x \cos 120^\circ$

$49 \times 3 = x^2 + \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{3}x^2 (-\frac{1}{2})$

$147 = x^2 + \frac{4}{9}x^2 + \frac{2}{3}x^2$

$147 = x^2 + \frac{4}{9}x^2 + \frac{6}{9}x^2$

$147 = x^2 + \frac{10}{9}x^2 = \frac{19}{9}x^2$

$x^2 = \frac{147 \times 9}{19} = \frac{1323}{19}$

$x = \sqrt{\frac{1323}{19}} = \sqrt{\frac{19 \times 69.63...}{19}} = \sqrt{\frac{9\cdot147}{19}}=\frac{3\sqrt{147}}{\sqrt{19}}=\frac{3\sqrt{9\cdot 16+\frac{3}{19}}}{1}$

$x = \sqrt{\frac{1323}{19}}=\frac{3\sqrt{147}}{\sqrt{19}}=\frac{3\sqrt{3\cdot 49}}{\sqrt{19}} = 3\sqrt{\frac{3}{19}}\times 7$

$147\times 9 = 1323$

$x^2 = \frac{1323}{19}$

$x=\sqrt{\frac{1323}{19}} = \sqrt{\frac{1323 \times 19}{19 \times 19}} = \frac{\sqrt{25137}}{19} \approx 8.35$

$2PA=3PB$となるのは、$P$が弧$AB$上にあるとき。

$2x = 3PB$

\frac{4x^2+9(\frac{2}{3}x)^2-147}{2(2)(3)}=\frac{4x^2+\dots-147}

$2PA=3PB$のとき、$PA=x$とすると、$PB=\frac{2}{3}x$

$AB^{2}=PA^{2}+PB^{2}-2PA \cdot PB \cdot cos120$

$147= x^{2} + \frac{4}{9}x^{2} + \frac{2}{3}x^{2}$

$147 = \frac{9+4+6}{9}x^{2} = \frac{19}{9}x^{2}$

$x^{2} = \frac{147 \cdot 9}{19}$

$x=\sqrt{\frac{1323}{19}}=\frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{19}} \sqrt{\frac{21}{1}}$

三角形PABの面積が最大となるのは、Pが弧ABの中点のときである。

このとき、PはABの垂直二等分線上にある。

三角形ABCの外接円の中心をOとすると、OはABの垂直二等分線上にある。

PA=PBとなる。$\angle ACB=60^\circ$から、$\angle APB=120^\circ$となる。

$\triangle PAB$において、余弦定理より、$AB^2=PA^2+PB^2-2PA \cdot PB \cos120^\circ$

$AB=7\sqrt{3}$なので、$147=PA^2+PA^2-2PA^2(-\frac{1}{2})=3PA^2$

$PA^2=49$

$PA=7$

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 7

ウエ: 該当なし

オ: 7

カ: 該当なし