白玉3個、赤玉6個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認後、袋に戻す操作を6回繰り返す。 (1) 白玉がちょうど2回出る確率を求めよ。 (2) 白玉が5回以上出る確率を求めよ。 (3) 6回目に2度目の白玉が出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

白玉3個、赤玉6個が入った袋から玉を1個取り出し、色を確認後、袋に戻す操作を6回繰り返す。

(1) 白玉がちょうど2回出る確率を求めよ。

(2) 白玉が5回以上出る確率を求めよ。

(3) 6回目に2度目の白玉が出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 白玉がちょうど2回出る確率

1回の試行で白玉が出る確率は $3/9 = 1/3$。したがって、赤玉が出る確率は $1 - 1/3 = 2/3$。

6回の試行で白玉がちょうど2回出る確率は、二項分布に従う。

確率は ${}_6 \mathrm{C}_2 \times (1/3)^2 \times (2/3)^4$ で計算できる。

${}_6 \mathrm{C}_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

よって、確率は $15 \times (1/9) \times (16/81) = 15 \times 16 / 729 = 240 / 729 = 80/243$。

(2) 白玉が5回以上出る確率

白玉が5回出る確率と6回出る確率を足し合わせる。

白玉が5回出る確率は ${}_6 \mathrm{C}_5 \times (1/3)^5 \times (2/3)^1 = 6 \times (1/243) \times (2/3) = 12/729 = 4/243$

白玉が6回出る確率は ${}_6 \mathrm{C}_6 \times (1/3)^6 \times (2/3)^0 = 1 \times (1/729) \times 1 = 1/729$

したがって、確率は $4/243 + 1/729 = 12/729 + 1/729 = 13/729$

(3) 6回目に2度目の白玉が出る確率

これは、5回目までに白玉が1回出て、6回目に白玉が出る確率である。

5回中1回白玉が出る確率は ${}_5 \mathrm{C}_1 \times (1/3)^1 \times (2/3)^4 = 5 \times (1/3) \times (16/81) = 80/243$

6回目に白玉が出る確率は $1/3$。

したがって、確率は $(80/243) \times (1/3) = 80/729$。

3. 最終的な答え

(1) 白玉がちょうど2回出る確率： $80/243$

(2) 白玉が5回以上出る確率： $13/729$

(3) 6回目に2度目の白玉が出る確率： $80/729$