ある家庭の電車のおもちゃにつけられる電池の寿命（単位：日）は正規分布 $N(175, 10^2)$ に従うとする。正月に新しい電池に取り替えたとき、年内に2回以上取り替えなければならない確率を求めよ。ただし、1つ目の電池の寿命を $X$, 2つ目の電池の寿命を $Y$ とするとき、$X$ と $Y$ は独立であるとし、一年は365日であるとする。

1. 問題の内容

ある家庭の電車のおもちゃにつけられる電池の寿命（単位：日）は正規分布 $N(175, 10^2)$ に従うとする。正月に新しい電池に取り替えたとき、年内に2回以上取り替えなければならない確率を求めよ。ただし、1つ目の電池の寿命を $X$, 2つ目の電池の寿命を $Y$ とするとき、$X$ と $Y$ は独立であるとし、一年は365日であるとする。

2. 解き方の手順

まず、電池の寿命が365日以内に2回終わる確率を求める。1つ目の電池の寿命を $X$、2つ目の電池の寿命を $Y$ とする。$X$ と $Y$ は独立で、どちらも正規分布 $N(175, 10^2)$ に従う。2回以上取り替える必要があるということは、$X + Y < 365$ となる確率を求めることになる。

$X + Y$ は正規分布に従い、その平均は $175 + 175 = 350$、分散は $10^2 + 10^2 = 200$ となる。したがって、$X + Y$ は正規分布 $N(350, 200)$ に従う。標準偏差は $\sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ である。

$P(X + Y < 365)$ を求めるために、標準化を行う。

$Z = \frac{365 - 350}{10\sqrt{2}} = \frac{15}{10\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \approx 1.06$

$P(X + Y < 365) = P(Z < 1.06)$ となる。標準正規分布表または計算ツールを用いて、$P(Z < 1.06)$ を求める。

$P(Z < 1.06) \approx 0.8554$

3. 最終的な答え

年内に2回以上取り替えねばならない確率は約0.8554である。

答え：0.8554