コインを4回投げたとき、表が出た回数に100円をかけた金額をもらえるゲームがあります。このゲームで得られる金額の期待値を求め、また、参加料が150円のとき、このゲームに参加することは得であるかを判断します。

1. 問題の内容

コインを4回投げたとき、表が出た回数に100円をかけた金額をもらえるゲームがあります。このゲームで得られる金額の期待値を求め、また、参加料が150円のとき、このゲームに参加することは得であるかを判断します。

2. 解き方の手順

まず、コインを4回投げたときに表が出る回数の確率分布を求めます。表が出る回数を $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(4, 1/2)$ に従います。つまり、表が $k$ 回出る確率は、

$$P(X=k) = \binom{4}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{4-k} = \binom{4}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^4$$

ここで、$k$ は $0, 1, 2, 3, 4$ です。

それぞれの確率を計算します。

* $P(X=0) = \binom{4}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

* $P(X=1) = \binom{4}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

* $P(X=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

* $P(X=3) = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

* $P(X=4) = \binom{4}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$

次に、もらえる金額の期待値を計算します。もらえる金額は $100X$ 円なので、期待値 $E(100X)$ は次のようになります。

$$E(100X) = 100 \times E(X) = 100 \sum_{k=0}^{4} k P(X=k)$$

$$E(100X) = 100 \left(0 \times \frac{1}{16} + 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{16}\right)$$

$$E(100X) = 100 \left(0 + \frac{1}{4} + \frac{6}{8} + \frac{3}{4} + \frac{4}{16}\right) = 100 \left(\frac{4}{16} + \frac{12}{16} + \frac{12}{16} + \frac{4}{16}\right) = 100 \times \frac{32}{16} = 100 \times 2 = 200$$

したがって、もらえる金額の期待値は200円です。

参加料が150円なので、期待値200円の方が高いです。

3. 最終的な答え

ア: 200

エ: 1