1つのサイコロを4回投げるとき、5以上の目がちょうど3回出る確率を求める問題です。答えは分数 $\frac{ア}{イウ}$ の形で答えます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回投げるとき、5以上の目がちょうど3回出る確率を求める問題です。答えは分数 $\frac{ア}{イウ}$ の形で答えます。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で5以上の目が出る確率を計算します。サイコロの目は1から6まであり、5以上の目は5と6なので、確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。5以上の目が出ない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ です。

次に、4回の試行のうち、5以上の目が3回出る場合の数を計算します。これは二項係数で表され、$_4C_3$ と書けます。$_4C_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$ となります。

したがって、5以上の目がちょうど3回出る確率は、二項分布の確率公式を用いて計算できます。

$P(X=3) = {}_4C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^{4-3} = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 4 \times \frac{1}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}$

3. 最終的な答え

したがって、確率は $\frac{8}{81}$ です。

ア = 8

イウ = 81