5つの数字0, 1, 2, 3, 4から異なる4つを使って4桁の整数を作る。次の整数の個数をそれぞれ求めよ。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 偶数 (4) 10の倍数 (5) 4の倍数

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4から異なる4つを使って4桁の整数を作る。次の整数の個数をそれぞれ求めよ。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 偶数

(4) 10の倍数

(5) 4の倍数

2. 解き方の手順

(1) 整数

まず、千の位に0以外の数字を置く。千の位の選び方は4通り。次に、百の位、十の位、一の位は残りの4つの数字から3つを選んで並べるので、その並べ方は $P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。したがって、作れる整数の個数は $4 \times 24 = 96$ 個。

(2) 奇数

一の位が奇数である必要がある。一の位が1または3の場合を考える。

(i) 一の位が1または3の場合:

一の位の選び方は2通り。千の位は0を除く必要がある。

(a) 千の位が0でない場合: 千の位の選び方は3通り。百の位、十の位は残りの3つの数字から2つを選んで並べるので $P(3,2) = 3 \times 2 = 6$通り。したがって、$2 \times 3 \times 6 = 36$個。

(b) 千の位が0の場合：これは起こらない。

したがって、奇数の個数は36個。

(3) 偶数

全体の個数から奇数の個数を引けばよい。

(1)より全体の個数は96個、(2)より奇数の個数は36個なので、偶数の個数は$96-36=60$個。

(4) 10の倍数

10の倍数は一の位が0でなければならない。

一の位が0の場合、千の位、百の位、十の位は残りの4つの数字から3つを選んで並べるので、$P(4,3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

したがって、10の倍数の個数は24個。

(5) 4の倍数

4の倍数は、下2桁が4の倍数であればよい。

下2桁が取りうる組み合わせは、04, 12, 20, 24, 32, 40。

(i) 下2桁が04, 20, 40の場合：残りの2桁の選び方は、$3 \times 2 = 6$通り。千の位は0でないので、千の位の選び方は2通り。百の位は残りの1通り。したがって、$3 \times 2 \times 1 = 6$通り。$3 \times 6 = 18$個

(ii) 下2桁が12, 24, 32の場合：千の位は0を除く必要があるので、千の位の選び方は2通り。百の位は残りの1通り。したがって、$3 \times 2 \times 1 = 6$通り。$3 \times 6 = 18$個

したがって、4の倍数の個数は$18 + 18 = 36$個。

3. 最終的な答え

(1) 整数: 96個

(2) 奇数: 36個

(3) 偶数: 60個

(4) 10の倍数: 24個

(5) 4の倍数: 36個