曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 上の点 $(2, 0)$ における接線と曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ 上の点 $(2, 0)$ における接線と曲線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ を $f(x)$ とおく。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$

次に、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

点 $(2, 0)$ における接線の傾きを求める。

$f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

点 $(2, 0)$ における接線の方程式を求める。

$y - 0 = 2(x - 2)$

$y = 2x - 4$

次に、曲線と接線の交点を求める。

$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x - 4$

$x^3 - 3x^2 = -4$

$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

$(x - 2)^2(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

よって、交点の $x$ 座標は $2$ (重解) と $-1$ である。

求める面積 $S$ は、積分を用いて以下のように表される。

$S = \int_{-1}^{2} |(x^3 - 3x^2 + 2x) - (2x - 4)| dx$

$= \int_{-1}^{2} |x^3 - 3x^2 + 4| dx$

区間 $[-1, 2]$ において $x^3 - 3x^2 + 4 \geq 0$ であるから、絶対値を外すことができる。

$S = \int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4) dx$

$= \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \right]_{-1}^{2}$

$= \left( \frac{1}{4}(2)^4 - (2)^3 + 4(2) \right) - \left( \frac{1}{4}(-1)^4 - (-1)^3 + 4(-1) \right)$

$= (4 - 8 + 8) - \left( \frac{1}{4} + 1 - 4 \right)$

$= 4 - \left( \frac{1}{4} - 3 \right)$

$= 4 - \frac{1}{4} + 3$

$= 7 - \frac{1}{4}$

$= \frac{28}{4} - \frac{1}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{27}{4}$