与えられた数列の極限値を求める問題です。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$

を計算します。

2. 解き方の手順

極限を求めるために、分母と分子を$n$で割ります。

まず、与えられた式を変形します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1}$

ここで、$n \to \infty$のとき$\frac{1}{n^2} \to 0$となることを利用します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$