以下の極限値を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n}}$

1. 問題の内容

以下の極限値を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n}}$

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}$ を掛けます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}}{(\sqrt{n^2 + 2n} - \sqrt{n^2 - 2n})(\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n})}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}}{(n^2 + 2n) - (n^2 - 2n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2n} + \sqrt{n^2 - 2n}}{4n}$

分子と分母を $n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}{4}$

$n \to \infty$ のとき、 $\frac{2}{n} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + \sqrt{1 - \frac{2}{n}}}{4} = \frac{\sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0}}{4} = \frac{1 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$