関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x-1}{x}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数 $(f \circ f)(x)$ は $f(f(x))$ と定義されます。つまり、$f(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

まず、$f(x)$ を代入します。

$f(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right)$

次に、$f(x)$ の式に $x$ の代わりに $\frac{x-1}{x}$ を代入します。

$f(f(x)) = \frac{\frac{x-1}{x} - 1}{\frac{x-1}{x}}$

分子を計算します。

$\frac{x-1}{x} - 1 = \frac{x-1}{x} - \frac{x}{x} = \frac{x-1-x}{x} = \frac{-1}{x}$

$f(f(x)) = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}}$

分母と分子に $x$ を掛けて簡約化します。

$f(f(x)) = \frac{-1}{x-1}$

したがって、$(f \circ f)(x) = \frac{-1}{x-1}$ となります。

これは選択肢1の $(f \circ f)(x) = -\frac{2}{x-1}$ とは異なります。

ですが、選択肢2の $(f \circ f)(x) = \frac{1}{x-1}$ とも異なります。

計算を間違えた可能性があるので、再度計算します。

$f(f(x)) = f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{\frac{x-1}{x}-1}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{x-1-x}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{\frac{-1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{-1}{x-1}$

しかし、選択肢には $\frac{-1}{x-1}$ はないので、与えられた選択肢に誤りがあると考えられます。

ただし、選択肢3は $(f \circ f)(x) = x$ なので、$f(f(x))=x$ となるかを確認します。

$f(f(x)) = x$ を満たすならば、$f(x)$ が $f(x)$ の逆関数である必要があります。

$f(x) = \frac{x-1}{x} = 1 - \frac{1}{x}$

$y = 1 - \frac{1}{x}$ とおいて、$x$ について解きます。

$y - 1 = -\frac{1}{x}$

$1-y = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{1-y}$

$f^{-1}(x) = \frac{1}{1-x}$

したがって、$f(x) \ne f^{-1}(x)$ であるので、$(f \circ f)(x) = x$ ではありません。

選択肢4は $(f \circ f)(x) = -x$ なので、これは明らかに違います。

分子に -1 をかけると $-\frac{1}{x-1}$ を $- \frac{2}{x-1}$ にすることは不可能です。

$(f \circ f)(x) = \frac{-1}{x-1}$ を変形して選択肢のいずれかに一致するかを検討します。

$\frac{-1}{x-1}$

3. 最終的な答え

与えられた選択肢の中に正しい答えはありません。正しくは $(f \circ f)(x) = \frac{-1}{x-1}$ です。