与えられた関数の連続である区間を求める問題です。 (1) $f(x) = \sqrt{1-x}$ (2) $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 3x + 2}$

1. 問題の内容

与えられた関数の連続である区間を求める問題です。

(1) $f(x) = \sqrt{1-x}$

(2) $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 3x + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sqrt{1-x}$ の場合

根号の中身が0以上である必要があります。つまり、$1-x \geq 0$ という条件が必要です。

この不等式を解くと、$x \leq 1$ となります。

したがって、この関数が連続である区間は、$x \leq 1$ です。

(2) $f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 3x + 2}$ の場合

分母が0にならないようにする必要があります。

$x^2 - 3x + 2 = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$

したがって、$x=1$ または $x=2$ のとき、分母が0になります。

$x = 1$ と $x=2$ を除くすべての実数で、関数は連続です。

$x \neq 1$ かつ $x \neq 2$ です。

また、分子は $x+1$ なので、$x=-1$ となります。

分母が0にならない範囲において、$f(x)$ は連続です。

3. 最終的な答え

(1) $x \leq 1$

(2) $x < 1$, $1 < x < 2$, $x > 2$

言い換えると、$(-\infty, 1)$, $(1, 2)$, $(2, \infty)$