定積分 $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、定数項を積分の外に出します。

$\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx = 2 \int_{-2}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} dx$

次に、積分 $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を利用します。

ここでは、$a^2 = 4$ なので、$a = 2$ です。

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

よって、元の定積分は

$2 \int_{-2}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} dx = 2 [\frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2})]_{-2}^{2} = [\arctan(\frac{x}{2})]_{-2}^{2}$

積分範囲を代入して計算します。

$[\arctan(\frac{x}{2})]_{-2}^{2} = \arctan(\frac{2}{2}) - \arctan(\frac{-2}{2}) = \arctan(1) - \arctan(-1)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ であるため、

$\arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$