与えられた積分を計算し、その結果を簡略化する問題です。積分は以下のように始まります。 $\int \frac{t}{a^2 - t^2} (-tdt)$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、その結果を簡略化する問題です。積分は以下のように始まります。

$\int \frac{t}{a^2 - t^2} (-tdt)$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\int \frac{t}{a^2 - t^2} (-tdt) = \int \frac{t^2}{t^2 - a^2} dt$

次に、被積分関数を部分分数分解するために、次のように変形します。

$\frac{t^2}{t^2 - a^2} = \frac{t^2 - a^2 + a^2}{t^2 - a^2} = 1 + \frac{a^2}{t^2 - a^2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \left(1 + \frac{a^2}{t^2 - a^2}\right) dt = \int dt + a^2 \int \frac{1}{t^2 - a^2} dt$

$\int \frac{1}{t^2 - a^2} dt$を部分分数に分解します。

$\frac{1}{t^2 - a^2} = \frac{1}{(t - a)(t + a)} = \frac{A}{t - a} + \frac{B}{t + a}$

$1 = A(t + a) + B(t - a)$

$t = a$のとき、$1 = 2aA$より$A = \frac{1}{2a}$

$t = -a$のとき、$1 = -2aB$より$B = -\frac{1}{2a}$

したがって、

$\frac{1}{t^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \left(\frac{1}{t - a} - \frac{1}{t + a}\right)$

$\int \frac{1}{t^2 - a^2} dt = \frac{1}{2a} \int \left(\frac{1}{t - a} - \frac{1}{t + a}\right) dt = \frac{1}{2a} (\ln|t - a| - \ln|t + a|) = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{t - a}{t + a}\right|$

したがって、元の積分は

$\int \left(1 + \frac{a^2}{t^2 - a^2}\right) dt = t + a^2 \cdot \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{t - a}{t + a}\right| = t + \frac{a}{2} \ln\left|\frac{t - a}{t + a}\right|$

ここで、$t = \sqrt{a^2 - x^2}$を代入します。

$\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a}{2} \ln\left|\frac{\sqrt{a^2 - x^2} - a}{\sqrt{a^2 - x^2} + a}\right|$

対数の部分を変形します。

$\frac{\sqrt{a^2 - x^2} - a}{\sqrt{a^2 - x^2} + a} = \frac{(\sqrt{a^2 - x^2} - a)^2}{(a^2 - x^2) - a^2} = \frac{(\sqrt{a^2 - x^2} - a)^2}{-x^2}$

$\ln\left|\frac{\sqrt{a^2 - x^2} - a}{\sqrt{a^2 - x^2} + a}\right| = \ln\left|\frac{(\sqrt{a^2 - x^2} - a)^2}{-x^2}\right| = 2 \ln\left|\frac{\sqrt{a^2 - x^2} - a}{x}\right|$

したがって、

$\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a}{2} \cdot 2 \ln\left|\frac{\sqrt{a^2 - x^2} - a}{x}\right| = \sqrt{a^2 - x^2} + a \ln\left|\frac{\sqrt{a^2 - x^2} - a}{x}\right|$

3. 最終的な答え

$\sqrt{a^2 - x^2} + a \ln\left|\frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{x}\right|$