以下の3つの不定積分を計算する問題です。$a, b, c, d$ は定数です。 (1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$ (2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$ (3) $\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を計算する問題です。$a, b, c, d$ は定数です。

(1) $\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt$

(2) $\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt$

(3) $\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt$

2. 解き方の手順

(1)

積分を各項に分けます。

$\int at^2 dt = a \int t^2 dt = a \frac{t^3}{3}$

$\int bt dt = b \int t dt = b \frac{t^2}{2}$

$\int c dt = ct$

$\int \frac{d}{t} dt = d \int \frac{1}{t} dt = d \ln|t|$

したがって、

$\int (at^2 + bt + c + \frac{d}{t}) dt = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln|t| + C$

(2)

積分を各項に分けます。

$\int a \sin(bt + c) dt = a \int \sin(bt + c) dt = a (-\frac{1}{b} \cos(bt + c)) = -\frac{a}{b} \cos(bt + c)$

$\int d \cos(bt + c) dt = d \int \cos(bt + c) dt = d (\frac{1}{b} \sin(bt + c)) = \frac{d}{b} \sin(bt + c)$

したがって、

$\int (a \sin(bt + c) + d \cos(bt + c)) dt = -\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$

(3)

積分を各項に分けます。

$\int ae^{bt} dt = a \int e^{bt} dt = a \frac{1}{b} e^{bt} = \frac{a}{b} e^{bt}$

$\int ce^{-bt} dt = c \int e^{-bt} dt = c (-\frac{1}{b} e^{-bt}) = -\frac{c}{b} e^{-bt}$

したがって、

$\int (ae^{bt} + ce^{-bt}) dt = \frac{a}{b} e^{bt} - \frac{c}{b} e^{-bt} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + ct + d \ln|t| + C$

(2) $-\frac{a}{b} \cos(bt + c) + \frac{d}{b} \sin(bt + c) + C$

(3) $\frac{a}{b} e^{bt} - \frac{c}{b} e^{-bt} + C$