$\sqrt{18}$, $\sqrt{2}$, 1, $\sqrt{9}$の間に、+, -, ×, ÷の記号をそれぞれ入れて計算し、計算結果が整数となる組み合わせが全部で何通りあるかを求める問題。ただし、同じ記号は2回使えない。

1. 問題の内容

$\sqrt{18}$, $\sqrt{2}$, 1, $\sqrt{9}$の間に、+, -, ×, ÷の記号をそれぞれ入れて計算し、計算結果が整数となる組み合わせが全部で何通りあるかを求める問題。ただし、同じ記号は2回使えない。

2. 解き方の手順

$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$、$\sqrt{9} = 3$である。

与えられた数値を $3\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1, 3$ と書き換える。

使用できる記号は +, -, ×, ÷である。これらの記号を重複なく使用して計算し、結果が整数になる組み合わせをすべて見つける。

以下の組み合わせについて検証する。

1. $+,-,\times,\div$の順に記号を当てはめる。

$3\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 \times 3 = 4\sqrt{2} - 3$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 \div 3 = 4\sqrt{2} - \frac{1}{3}$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 1 - 3 = 4\sqrt{2} - 3$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} + \sqrt{2} \times 1 \div 3 = 3\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{10\sqrt{2}}{3}$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} + \sqrt{2} \div 1 - 3 = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3 = 4\sqrt{2} - 3$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} + \sqrt{2} \div 1 \times 3 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ (整数ではない)

2. 他の組み合わせも同様に検証する。

$3\sqrt{2} \times \sqrt{2} + 1 - 3 = 3 \times 2 + 1 - 3 = 6 + 1 - 3 = 4$ (整数)

$3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 1 + 3 = 3 \times 2 - 1 + 3 = 6 - 1 + 3 = 8$ (整数)

$3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 1 \div 3 = 6 - \frac{1}{3}$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} + 1 - 3 = 3 + 1 - 3 = 1$ (整数)

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} - 1 + 3 = 3 - 1 + 3 = 5$ (整数)

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} - 1 \times 3 = 3 - 3 = 0$ (整数)

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} \times 1 + 3 = 3 + 3 = 6$ (整数)

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} \times 1 - 3 = 3 - 3 = 0$ (整数)

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \times 3 = 2\sqrt{2} + 3$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \div 3 = 2\sqrt{2} + \frac{1}{3}$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} \times 1 + 3 = 2\sqrt{2} + 3$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} \times 1 \div 3 = 3\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} \div 1 + 3 = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 3 = 2\sqrt{2} + 3$ (整数ではない)

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} \div 1 \times 3 = 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0$ (整数)

以上の計算から、計算結果が整数となる組み合わせは以下の7通りである。

$3\sqrt{2} \times \sqrt{2} + 1 - 3 = 4$

$3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 1 + 3 = 8$

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} + 1 - 3 = 1$

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} - 1 + 3 = 5$

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} - 1 \times 3 = 0$

$3\sqrt{2} \div \sqrt{2} \times 1 + 3 = 6$

$3\sqrt{2} - \sqrt{2} \div 1 \times 3 = 0$

3. 最終的な答え

7通り