この問題は、5つの異なる式 $\sqrt{1}+\sqrt{9}$、$\sqrt{2}+\sqrt{8}$、$\sqrt{3}+\sqrt{7}$、$\sqrt{4}+\sqrt{6}$、$\sqrt{5}+\sqrt{5}$ の大きさについて考察するものです。まず、根号を使わずにこれらの式を表現し、次に2乗した値を比較することで、4番目に大きい数とその理由を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、5つの異なる式 $\sqrt{1}+\sqrt{9}$、$\sqrt{2}+\sqrt{8}$、$\sqrt{3}+\sqrt{7}$、$\sqrt{4}+\sqrt{6}$、$\sqrt{5}+\sqrt{5}$ の大きさについて考察するものです。まず、根号を使わずにこれらの式を表現し、次に2乗した値を比較することで、4番目に大きい数とその理由を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ア～エを求める。

* ア: $\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1 + 3 = 4$

* イ、ウ: $\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。よって、イは3、ウは2。

* エ: $\sqrt{2}=1.41$ なので、 $3\sqrt{2} = 3 \times 1.41 = 4.23$

(2) 式③～⑤をそれぞれ $a+2\sqrt{b}$ の形で表す。

* ③ $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$

* ④ $(\sqrt{4}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 + 2\sqrt{24} + 6 = 10 + 2\sqrt{24} = 10 + 2\sqrt{4 \times 6} = 10 + 4\sqrt{6}$

* ⑤ $(\sqrt{5}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 5 + 2(5) + 5 = 5 + 10 + 5 = 20$

(3) (2)で求めた結果から、①～⑤の数のうち、4番目に大きい数を求める。

* ① $(\sqrt{1}+\sqrt{9})^2 = (1+3)^2 = 4^2 = 16$

* ② $(\sqrt{2}+\sqrt{8})^2 = 10 + 2\sqrt{16} = 10 + 2(4) = 10 + 8 = 18$

* ③ $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = 10 + 2\sqrt{21}$ ($\sqrt{21}$ は4と5の間なので、 $4 < \sqrt{21} < 5$、$8 < 2\sqrt{21} < 10$。よって、$18 < 10 + 2\sqrt{21} < 20$)

* ④ $(\sqrt{4}+\sqrt{6})^2 = 10 + 4\sqrt{6}$ ($\sqrt{6}$ は2と3の間なので、$2 < \sqrt{6} < 3$、$8 < 4\sqrt{6} < 12$。よって、$18 < 10 + 4\sqrt{6} < 22$)

* ⑤ $(\sqrt{5}+\sqrt{5})^2 = 20$

したがって、大きさは、$④ > ⑤ > ③ > ② > ①$となる。

4番目に大きい数は①なので、$\sqrt{1}+\sqrt{9}$。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 3

ウ: $\sqrt{2}$ (または 2)

エ: 4.23

4番目に大きい数: $\sqrt{1}+\sqrt{9}$

理由: $(\sqrt{1}+\sqrt{9})^2=16$、$(\sqrt{2}+\sqrt{8})^2=18$、$(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = 10 + 2\sqrt{21}$、$(\sqrt{4}+\sqrt{6})^2 = 10 + 4\sqrt{6}$、$(\sqrt{5}+\sqrt{5})^2=20$。これらを比較すると、$(\sqrt{1}+\sqrt{9})^2$が最も小さいので。