この問題は、5つの数（$\sqrt{1}+\sqrt{9}$, $\sqrt{2}+\sqrt{8}$, $\sqrt{3}+\sqrt{7}$, $\sqrt{4}+\sqrt{6}$, $\sqrt{5}+\sqrt{5}$）の大きさについて考察するものです。 (1)では、$\sqrt{1}+\sqrt{9}$と$\sqrt{2}+\sqrt{8}$を根号を使わずに表し、$\sqrt{2}=1.41$として近似値を計算します。 (2)では、与えられた2乗の計算例にならって、他の3つの数を2乗した式を$a+2\sqrt{b}$の形で表します。 (3)では、(2)の結果から、5つの数のうち4番目に大きい数とその理由を説明します。

1. 問題の内容

この問題は、5つの数（$\sqrt{1}+\sqrt{9}$, $\sqrt{2}+\sqrt{8}$, $\sqrt{3}+\sqrt{7}$, $\sqrt{4}+\sqrt{6}$, $\sqrt{5}+\sqrt{5}$）の大きさについて考察するものです。

(1)では、$\sqrt{1}+\sqrt{9}$と$\sqrt{2}+\sqrt{8}$を根号を使わずに表し、$\sqrt{2}=1.41$として近似値を計算します。

(2)では、与えられた2乗の計算例にならって、他の3つの数を2乗した式を$a+2\sqrt{b}$の形で表します。

(3)では、(2)の結果から、5つの数のうち4番目に大きい数とその理由を説明します。

2. 解き方の手順

(1)

ア：$\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1 + 3 = 4$

イ：$\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

ウ：$3\sqrt{2}$

エ：$3 \times 1.41 = 4.23$

(2)

③ $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$

④ $(\sqrt{4}+\sqrt{6})^2 = (\sqrt{4})^2 + 2\sqrt{4}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 4 + 2\sqrt{24} + 6 = 10 + 2\sqrt{24}$

⑤ $(\sqrt{5}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 5 + 2(5) + 5 = 5 + 10 + 5 = 20$

(3)

(2)の結果を比較すると以下のようになります。

① $(\sqrt{1}+\sqrt{9})^2 = (1+3)^2 = 4^2 = 16$

② $(\sqrt{2}+\sqrt{8})^2 = 10 + 2\sqrt{16} = 10 + 2 \times 4 = 10 + 8 = 18$

③ $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = 10 + 2\sqrt{21}$

④ $(\sqrt{4}+\sqrt{6})^2 = 10 + 2\sqrt{24}$

⑤ $(\sqrt{5}+\sqrt{5})^2 = 20$

$\sqrt{16} = 4, \sqrt{21} \approx 4.58, \sqrt{24} \approx 4.90$ なので、それぞれの2乗の値を比較すると、

① 16

② 18

③ $10 + 2\sqrt{21} \approx 10 + 2(4.58) = 10 + 9.16 = 19.16$

④ $10 + 2\sqrt{24} \approx 10 + 2(4.90) = 10 + 9.8 = 19.8$

⑤ 20

したがって、2乗した値の大きい順に並べると、⑤, ④, ③, ②, ① となります。

元の数も同じ順序で大きくなるため、4番目に大きい数は② $\sqrt{2}+\sqrt{8}$です。

3. 最終的な答え

(1)

ア：4

イ：3

ウ：$\sqrt{2}$

エ：4.23

(2)

③ $10+2\sqrt{21}$

④ $10+2\sqrt{24}$

⑤ $20$

(3)

4番目に大きい数：$\sqrt{2}+\sqrt{8}$

理由：(2)で計算した結果から、それぞれの数を2乗した値は、①16, ②18, ③$10+2\sqrt{21}$, ④$10+2\sqrt{24}$, ⑤20 となる。この中で4番目に大きいのは18であるから。