$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

それぞれの数を同じ指数を持つ累乗根の形に変形して、比較します。

まず、それぞれの数を分数指数で表します。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (2^{-3})^{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{3}{4}}$

次に、指数 $-\frac{1}{2}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{4}$ の分母の最小公倍数を求めます。

2, 3, 4 の最小公倍数は 12 です。

したがって、これらの指数を分母が 12 になるように変形します。

$-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$

$-\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}$

$-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$

よって、

$\sqrt{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{6}{12}} = (2^{-6})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{2^6})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{64})^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{8}{12}} = (2^{-8})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{2^8})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{256})^{\frac{1}{12}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = 2^{-\frac{9}{12}} = (2^{-9})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{2^9})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{512})^{\frac{1}{12}}$

$\frac{1}{64}$, $\frac{1}{256}$, $\frac{1}{512}$ を比較すると、$\frac{1}{512} < \frac{1}{256} < \frac{1}{64}$ です。

したがって、$(\frac{1}{512})^{\frac{1}{12}} < (\frac{1}{256})^{\frac{1}{12}} < (\frac{1}{64})^{\frac{1}{12}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{2}}$