$\sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{9}, \sqrt[5]{27}$ を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{9}, \sqrt[5]{27}$ を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの数を $n$乗根の形から指数表現に変換し、指数部分を比較しやすいように通分します。

まず、それぞれの数を指数表現に変換します。

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{27} = 27^{\frac{1}{5}} = (3^3)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{5}}$

次に、指数部分である $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}$ を通分します。

分母の最小公倍数は $3, 2, 5$ の最小公倍数である $30$ です。したがって、

$\frac{1}{3} = \frac{10}{30}$

$\frac{1}{2} = \frac{15}{30}$

$\frac{3}{5} = \frac{18}{30}$

よって、それぞれの数は

$3^{\frac{10}{30}}, 3^{\frac{15}{30}}, 3^{\frac{18}{30}}$

となります。

指数関数 $y = 3^x$ は $x$ が増加するにつれて $y$ も増加する単調増加関数です。

したがって、指数の大小関係によって、元の数の大小関係が決定されます。

$\frac{10}{30} < \frac{15}{30} < \frac{18}{30}$ なので、$3^{\frac{10}{30}} < 3^{\frac{15}{30}} < 3^{\frac{18}{30}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{9} < \sqrt[5]{27}$