$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1-x)}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1-x)}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$-x = k$ と置換します。すると、$x \to 0$ のとき、$k \to 0$ となります。

与えられた式は、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1-x)}{x} = \lim_{k \to 0} \frac{\log(1+k)}{-k} = \lim_{k \to 0} \frac{\log(1+k)}{-k}$

となります。

次に、

$\lim_{k \to 0} \frac{\log(1+k)}{-k} = \lim_{k \to 0} -\frac{1}{k} \log(1+k) = \lim_{k \to 0} \log(1+k)^{-\frac{1}{k}}$

となります。

さらに、

$\lim_{k \to 0} \log(1+k)^{-\frac{1}{k}} = \lim_{k \to 0} \log((1+k)^{\frac{1}{k}})^{-1} = \log(\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac{1}{k}})^{-1}$

ここで、$\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac{1}{k}} = e$ であるから、

$\log(e^{-1}) = -\log e = -1$

3. 最終的な答え

-1