AとBが試合を行い、先に2勝した方を優勝とする。各試合でAがBに勝つ確率は$\frac{2}{3}$で、引き分けはないものとする。 (ア) Aが優勝する確率を求める。 (イ) 1回目にAが勝ったという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

1. 問題の内容

AとBが試合を行い、先に2勝した方を優勝とする。各試合でAがBに勝つ確率は$\frac{2}{3}$で、引き分けはないものとする。

(ア) Aが優勝する確率を求める。

(イ) 1回目にAが勝ったという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求める。

2. 解き方の手順

(ア) Aが優勝するのは以下のいずれかの場合です。

1. Aが2連勝する場合。

2. Aが1勝1敗の後、Aが勝つ場合。

1の場合、Aが2連勝する確率は

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

2の場合、Aが1勝1敗の後、Aが勝つ確率は

$2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$

したがって、Aが優勝する確率は

$\frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27}$

(イ) 1回目にAが勝ったという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率を求めます。

1回目にAが勝ち、2回目にBが勝つ確率は$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$です。

1回目にAが勝った後、Aが優勝するのは以下のいずれかの場合です。

1. 2回目にAが勝つ場合 (Aが2連勝)

2. 2回目にBが勝ち、3回目にAが勝つ場合 (Aが1勝1敗の後、Aが勝つ)

この確率の和を分母とします。

1回目にAが勝つ確率は$\frac{2}{3}$です。

Aが優勝する確率は、1回目にAが勝つ場合と1回目にBが勝つ場合に分けて考えることができ、

$P(\text{Aが優勝}) = P(\text{1回目にAが勝つ}) \times P(\text{Aが優勝} | \text{1回目にAが勝つ}) + P(\text{1回目にBが勝つ}) \times P(\text{Aが優勝} | \text{1回目にBが勝つ})$

$P(\text{1回目にAが勝つ}) = \frac{2}{3}$

$P(\text{1回目にBが勝つ}) = \frac{1}{3}$

$P(\text{Aが優勝} | \text{1回目にAが勝つ}) = \frac{P(\text{Aが優勝} \cap \text{1回目にAが勝つ})}{P(\text{1回目にAが勝つ})}$

1回目にAが勝った場合、Aが優勝するのは、

Aが2連勝するか、2回目にBが勝ち、3回目にAが勝つ場合です。

この確率は、$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$

$P(\text{Aが優勝} \cap \text{1回目にAが勝つ}) = \frac{2}{3} \times (\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \times \frac{8}{9} = \frac{16}{27}$

したがって、$P(\text{Aが優勝} | \text{1回目にAが勝つ}) = \frac{16/27}{2/3} = \frac{16}{27} \times \frac{3}{2} = \frac{8}{9}$

1回目にAが勝ったという条件のもとで、2回目にBが勝つ確率は

$\frac{\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{9} \times \frac{9}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{20}{27}$

イ: $\frac{1}{4}$