袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉が入っている。赤、青、黄色の皿がそれぞれ1枚ずつ置かれており、袋から玉を3個取り出して順番に各皿の上に置く。皿の色と玉の色が一致する皿の枚数をXとする。このとき、以下の確率と期待値を求める。 (1) X=3となる確率 (2) X=2となる確率 (3) Xの期待値

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の合計6個の玉が入っている。赤、青、黄色の皿がそれぞれ1枚ずつ置かれており、袋から玉を3個取り出して順番に各皿の上に置く。皿の色と玉の色が一致する皿の枚数をXとする。このとき、以下の確率と期待値を求める。

(1) X=3となる確率

(2) X=2となる確率

(3) Xの期待値

2. 解き方の手順

(1) X=3となる確率

X=3となるのは、取り出した玉の色が順番に赤、青、黄となる場合のみである。

取り出し方は全部で $6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り。

赤、青、黄の順に取り出すのは、 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、X=3となる確率は $\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率

X=2となるのは、3つの皿のうち2つの色と玉の色が一致し、残り1つの色と玉の色が一致しない場合である。

一致しない皿が赤のとき：(青、黄)を正しく並べ、赤を間違える。つまり(青、黄、赤)の順で青と黄は正しく並んでいる必要がある。青玉2個から1つ、黄玉1個から1つ、赤玉3個から1つを選ぶ必要があるので、2*1*3=6通り。

一致しない皿が青のとき：(赤、黄)を正しく並べ、青を間違える。つまり(赤、青、黄)の順で赤と黄は正しく並んでいる必要がある。赤玉3個から1つ、黄玉1個から1つ、青玉2個から1つを選ぶ必要があるので、3*2*1=6通り。

一致しない皿が黄のとき：(赤、青)を正しく並べ、黄を間違える。つまり(赤、青、黄)の順で赤と青は正しく並んでいる必要がある。赤玉3個から1つ、青玉2個から1つ、黄玉1個から1つを選ぶ必要があるので、3*2*1=6通り。

したがって、X=2となるのは、$6+6+6=18$ 通り。

よって、X=2となる確率は $\frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

(3) Xの期待値

Xの取りうる値は0, 1, 2, 3。

(1), (2)より、

P(X=3) = $\frac{1}{20}$

P(X=2) = $\frac{3}{20}$

P(X=1) = $\frac{6P_3 - 6 - 18 - P(X=0)}{120} = \frac{120-6-18-P(X=0)}{120}$

X=0となる確率は1からX=1,2,3となる確率を引けば求められる.

X=0となるのは一つも一致しない時。

全体で$6P_3=120$通り。

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)

また、 P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1

P(X=1) = $\frac{120-(6+18+P(X=0))}{120}= \frac{120-(6+18) -66}{120}$

P(X=1)= 1- $\frac{1}{20} - \frac{3}{20}$ -P(X=0) = $\frac{16}{20}$ -P(X=0)

しかしこの計算ではP(X=0)が計算できない。

P(X=0) = 1 - P(X=1) - P(X=2) - P(X=3)

期待値 E(X) = $0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

= $P(X=1) + 2 \times \frac{3}{20} + 3 \times \frac{1}{20}$

= $P(X=1) + \frac{6}{20} + \frac{3}{20}$

= $P(X=1) + \frac{9}{20}$

取り出した玉が、赤、青、黄の順であるとき、

赤玉3個、青玉2個、黄玉1個なので、合計6個の玉が入っている。

したがって取り出した3個の玉の色が全部異なる場合は、$3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

P(X=3) = 6/($6 \times 5 \times 4$) = 6/120 = 1/20

全事象：6P3 = 6*5*4 = 120通り

X=2となるのは、2つの色が一致、1つが一致しない場合。

たとえば、赤と青が一致する場合を考える。

（赤、青）-> (赤、青）

赤：3通り, 青：2通り, 黄：1通り.

一つでも一致しない場合は、120-(6+18)=96?

一致する色の数の期待値は、取り出した玉の色の数の期待値と一致するはず。

赤玉3個、青玉2個、黄玉1個なので、取り出した玉の色の平均は、(3+2+1)/6=1

赤玉の期待値 = $\frac{3}{6} \times 1 = \frac{1}{2}$

青玉の期待値 = $\frac{2}{6} \times 1 = \frac{1}{3}$

黄玉の期待値 = $\frac{1}{6} \times 1 = \frac{1}{6}$

E(X) = $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

3. 最終的な答え

(1) X=3となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) X=2となる確率: $\frac{3}{20}$

(3) Xの期待値: 1