次の4つの関数の極値を求めます。 (1) $y = x^2e^{-x}$ (2) $y = \frac{x}{\log x}$ (3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$ (4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ （ただし、$0 \leq x \leq 2\pi$）

はい、承知いたしました。関数の極値を求める問題ですね。順番に解いていきましょう。

1. 問題の内容

次の4つの関数の極値を求めます。

(1) $y = x^2e^{-x}$

(2) $y = \frac{x}{\log x}$

(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$

(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ （ただし、$0 \leq x \leq 2\pi$）

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2e^{-x}$ の場合：

まず、導関数を求めます。

$y' = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$xe^{-x}(2 - x) = 0$

$x = 0, 2$

増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | ↓ | 0 | ↑ | $4e^{-2}$ | ↓ |

したがって、$x = 0$ で極小値 0、$x = 2$ で極大値 $4e^{-2}$ をとります。

(2) $y = \frac{x}{\log x}$ の場合：

まず、定義域を確認します。$\log x$ が定義されるためには $x > 0$である必要があり、$\log x \neq 0$、つまり $x \neq 1$ である必要があります。したがって、定義域は $x > 0, x \neq 1$ です。

導関数を求めます。

$y' = \frac{\log x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{\log x - 1}{(\log x)^2} = 0$

$\log x = 1$

$x = e$

増減表を作成します。

| x | 0 < ... | 1 < ... | e | ... |

| :--- | :--- | :--- | :-- | :--- |

| y' | - | - | 0 | + |

| y | ↓ | ↓ | e | ↑ |

したがって、$x = e$ で極小値 $e$ をとります。

(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$ の場合：

まず、定義域を確認します。 $x \neq 0, x \neq 1$

導関数を求めます。

$y' = -\frac{4}{x^5} + \frac{4}{(1-x)^5}$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\frac{4}{x^5} + \frac{4}{(1-x)^5} = 0$

$\frac{1}{x^5} = \frac{1}{(1-x)^5}$

$x^5 = (1-x)^5$

$x = 1 - x$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

増減表を作成します。

| x | ... | 0 | 0 < ... | 1/2 | ... | 1 | 1 < ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| y' | - | | - | 0 | + | | + |

| y | ↓ | | ↓ | 16+16=32 | ↑ | | ↑ |

したがって、$x = \frac{1}{2}$ で極小値 32 をとります。

(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ （$0 \leq x \leq 2\pi$）の場合：

導関数を求めます。

$y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$2\cos x(1 - 2\sin x) = 0$

$\cos x = 0$ または $1 - 2\sin x = 0$

$\cos x = 0$ より $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin x = \frac{1}{2}$ より $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$ において、$y'$ の符号が変わるかを調べます。

$y'' = -2\sin x - 4\cos 2x$

$y''(\pi/6) = -2(1/2) - 4(\sqrt{3}/2) = -1 - 2\sqrt{3} < 0$ よって極大

$y''(\pi/2) = -2(1) - 4(-1) = 2 > 0$ よって極小

$y''(5\pi/6) = -2(1/2) - 4(\sqrt{3}/2) = -1 - 2\sqrt{3} < 0$ よって極大

$y''(3\pi/2) = -2(-1) - 4(-1) = 6 > 0$ よって極小

$x = \frac{\pi}{6}$ で極大値 $2(\frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ をとります。

$x = \frac{\pi}{2}$ で極小値 $2(1) + (-1) = 1$ をとります。

$x = \frac{5\pi}{6}$ で極大値 $2(\frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ をとります。

$x = \frac{3\pi}{2}$ で極小値 $2(-1) + (-1) = -3$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ で極小値 0、$x = 2$ で極大値 $4e^{-2}$

(2) $x = e$ で極小値 $e$

(3) $x = \frac{1}{2}$ で極小値 32

(4) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ で極大値 $\frac{3}{2}$、$x = \frac{\pi}{2}$ で極小値 1、$x = \frac{3\pi}{2}$ で極小値 -3