(1) $a > b > 0$ のとき、$\sqrt{2(a+b)} > \sqrt{a} + \sqrt{b}$ を証明する。 (2) $2|a| + |b| \geq |2a-b|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

(1) $a > b > 0$ のとき、$\sqrt{2(a+b)} > \sqrt{a} + \sqrt{b}$ を証明する。

(2) $2|a| + |b| \geq |2a-b|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

(1)

不等式の両辺は正なので、2乗したものを比較する。

$(\sqrt{2(a+b)})^2 = 2(a+b) = 2a+2b$

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$

$2a+2b - (a+2\sqrt{ab}+b) = a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$

$a > b > 0$ より $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ なので、$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 > 0$

したがって、$2a+2b > a+2\sqrt{ab}+b$ となり、$\sqrt{2(a+b)} > \sqrt{a} + \sqrt{b}$ が成り立つ。

(2)

不等式の両辺は非負なので、2乗したものを比較する。

$(2|a|+|b|)^2 = 4a^2 + 4|a||b| + b^2$

$|2a-b|^2 = (2a-b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

$(2|a|+|b|)^2 - |2a-b|^2 = (4a^2 + 4|a||b| + b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2) = 4|a||b| + 4ab = 4(|a||b| + ab)$

$|a||b| + ab \geq 0$ であることを示す。

- $a \geq 0, b \geq 0$ のとき、$|a| = a, |b| = b$ なので、$|a||b| + ab = 2ab \geq 0$

- $a \geq 0, b < 0$ のとき、$|a| = a, |b| = -b$ なので、$|a||b| + ab = -ab + ab = 0$

- $a < 0, b \geq 0$ のとき、$|a| = -a, |b| = b$ なので、$|a||b| + ab = -ab + ab = 0$

- $a < 0, b < 0$ のとき、$|a| = -a, |b| = -b$ なので、$|a||b| + ab = ab + ab = 2ab > 0$

したがって、常に$4(|a||b| + ab) \geq 0$ であるから、$(2|a|+|b|)^2 \geq |2a-b|^2$ が成り立つ。よって、$2|a| + |b| \geq |2a-b|$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$4(|a||b| + ab) = 0$ のときである。つまり、$|a||b| + ab = 0$。

$|a||b| = -ab$ となるのは、$a \geq 0, b < 0$ または $a < 0, b \geq 0$ のとき。つまり、$ab \leq 0$ のときである。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2(a+b)} > \sqrt{a} + \sqrt{b}$

(2) $2|a| + |b| \geq |2a-b|$

等号成立は $ab \leq 0$ のとき。