$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた分数の分母を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ の分母分子に $\sqrt{5}+1$ をかけます。

$\frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

次に、$\sqrt{5}$ の値を評価します。$\sqrt{4} = 2$ であり $\sqrt{9} = 3$ であるので、$2 < \sqrt{5} < 3$ であることがわかります。

実際には、$2.2^2 = 4.84$ であり、$2.3^2 = 5.29$ であるので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ であることがわかります。

したがって、$\sqrt{5}+1$ は $3.2$ から $3.3$ の間の値であると予想できます。

よって、$\sqrt{5}+1$ の整数部分は $3$ であると考えられます。

そこで、$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$3 < \sqrt{5} + 1 < 4$ であるので、整数部分 $a = 3$ であることがわかります。

小数部分 $b$ は $\sqrt{5}+1 - 3 = \sqrt{5} - 2$ となります。

3. 最終的な答え

整数部分 $a = 3$

小数部分 $b = \sqrt{5} - 2$