直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、点 $(0, 5)$ を通る直線を求める問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、点 $(0, 5)$ を通る直線を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ の傾きは $\sqrt{3}$ です。この直線の傾きを $m_1$ とすると、 $m_1 = \sqrt{3}$ です。

傾きと角度の関係から、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となるので、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

求める直線の傾きを $m$ とします。2直線のなす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ である条件から、

$$\tan \left| \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{3} - \arctan m \right| = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right|$$

$$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} = \left| \frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} \right|$$

絶対値を外して2つの場合を考えます。

(i) $\frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} = \sqrt{3}$ の場合

$$\sqrt{3} - m = \sqrt{3} + 3m$$

$$-4m = 0$$

$$m = 0$$

(ii) $\frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} = - \sqrt{3}$ の場合

$$\sqrt{3} - m = - \sqrt{3} - 3m$$

$$2m = -2\sqrt{3}$$

$$m = - \sqrt{3}$$

点 $(0, 5)$ を通り、傾きが $m$ の直線の方程式は $y = mx + 5$ です。

(i) $m = 0$ の場合、 $y = 0x + 5$ より $y = 5$。

(ii) $m = - \sqrt{3}$ の場合、 $y = -\sqrt{3}x + 5$。

3. 最終的な答え

$y = 5$ または $y = -\sqrt{3}x + 5$

## 問題2

1. 問題の内容

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

積和の公式を使って、$\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi) \sin(\theta + \frac{4}{3}\pi)$ を変形します。

$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$$

$A = \theta + \frac{2}{3}\pi$, $B = \theta + \frac{4}{3}\pi$ とすると、

$$\sin \left( \theta + \frac{2}{3}\pi \right) \sin \left( \theta + \frac{4}{3}\pi \right) = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( - \frac{2}{3}\pi \right) - \cos \left( 2\theta + 2\pi \right) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{2}{3}\pi \right) - \cos (2\theta) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left[ - \frac{1}{2} - \cos (2\theta) \right]$$

$$= - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos (2\theta)$$

元の式に代入すると、

$$\sin \theta - \left( - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cos (2\theta) \right) = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2\theta)$$

倍角の公式より、$\cos (2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ なので、

$$\sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 \theta) = \sin \theta + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \sin^2 \theta = \sin \theta + \frac{3}{4} - \sin^2 \theta$$

ここで、$\sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) + \sin\theta + \sin(\theta + \frac{4\pi}{3}) = 0$という公式を使います。

$\sin(\theta+\frac{2\pi}{3}) \sin(\theta+\frac{4\pi}{3}) = \sin(\theta+\frac{2\pi}{3})(-\sin(\theta+\frac{2\pi}{3}) - \sin\theta) = - \sin^2(\theta+\frac{2\pi}{3}) - \sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\sin\theta$

これを代入すると

$\sin\theta - (- \sin^2(\theta+\frac{2\pi}{3}) - \sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\sin\theta ) = \sin\theta + \sin^2(\theta+\frac{2\pi}{3}) + \sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\sin\theta$

別の解法：

$\sin \theta - \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \sin(\theta + \frac{4\pi}{3})$

$= \sin \theta - (\sin \theta \cos \frac{2\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{2\pi}{3})(\sin \theta \cos \frac{4\pi}{3} + \cos \theta \sin \frac{4\pi}{3})$

$= \sin \theta - (\sin \theta (-\frac{1}{2}) + \cos \theta (\frac{\sqrt{3}}{2}))(\sin \theta (-\frac{1}{2}) + \cos \theta (-\frac{\sqrt{3}}{2}))$

$= \sin \theta - (-\frac{1}{2}\sin \theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta)(-\frac{1}{2}\sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta)$

$= \sin \theta - (\frac{1}{4}\sin^2 \theta + \frac{3}{4}\cos^2 \theta)$

$= \sin \theta - (\frac{1}{4}\sin^2 \theta + \frac{3}{4}(1-\sin^2 \theta))$

$= \sin \theta - (\frac{1}{4}\sin^2 \theta + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}\sin^2 \theta)$

$= \sin \theta - \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\sin^2 \theta$

$= -(\frac{1}{2})\sin^2\theta + \sin\theta - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

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