点Pは直線 $y=x+1$ 上の点であり、点Qは点Pからx軸に下ろした垂線の足である。三角形POQの面積が6cm²であるとき、点Pの座標を求める。ただし、点Pのx座標は正であり、座標軸の1目盛りは1cmとする。

1. 問題の内容

点Pは直線 $y=x+1$ 上の点であり、点Qは点Pからx軸に下ろした垂線の足である。三角形POQの面積が6cm²であるとき、点Pの座標を求める。ただし、点Pのx座標は正であり、座標軸の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

点Pのx座標を $t$ とすると、点Pは直線 $y=x+1$ 上にあるので、点Pのy座標は $t+1$ となる。したがって、点Pの座標は $(t, t+1)$ と表せる。点Qは点Pからx軸に下ろした垂線の足なので、点Qの座標は $(t, 0)$ となる。

三角形POQは直角三角形であり、底辺をOQとすると、高さはPQとなる。OQの長さは $t$ であり、PQの長さは $t+1$ である。したがって、三角形POQの面積は、

$\frac{1}{2} \times t \times (t+1) = 6$

この方程式を解くと、

$t(t+1) = 12$

$t^2 + t - 12 = 0$

$(t+4)(t-3) = 0$

$t = -4, 3$

条件より、点Pのx座標は正なので、$t=3$となる。

点Pの座標は $(t, t+1) = (3, 3+1) = (3, 4)$

3. 最終的な答え

点Pの座標は $(3, 4)$