三角形ABCにおいて、$BC=3$, $AC=5$, $\angle C=120^\circ$であるとき、$\sin B$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$BC=3$, $AC=5$, $\angle C=120^\circ$であるとき、$\sin B$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$AB$の長さを求めます。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$で表されます。この問題では、$c=AB$, $a=BC=3$, $b=AC=5$, $\angle C=120^\circ$なので、

$AB^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$なので、

$AB^2 = 9 + 25 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 9 + 25 + 15 = 49$

よって、$AB = 7$となります。

次に、正弦定理を用いて$\sin B$を求めます。

正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$で表されます。この問題では、$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$より、

$\frac{5}{\sin B} = \frac{7}{\sin 120^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$\frac{5}{\sin B} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\sin B = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$

3. 最終的な答え

$\sin B = \frac{5\sqrt{3}}{14}$