半径2の円に内接する三角形ABCがあり、辺ABが直径である。$\cos A = \frac{1}{3}$であるとき、以下の問いに答えよ。 (1) 辺ACの長さを求めよ。 (2) 辺BCの長さを求めよ。

1. 問題の内容

半径2の円に内接する三角形ABCがあり、辺ABが直径である。$\cos A = \frac{1}{3}$であるとき、以下の問いに答えよ。

(1) 辺ACの長さを求めよ。

(2) 辺BCの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の半径が2なので、直径である辺ABの長さは4である。

$AB = 4$

$\cos A = \frac{AC}{AB}$であるから、

$\frac{1}{3} = \frac{AC}{4}$

$AC = \frac{4}{3}$

(2) 三角形ABCは円に内接しており、ABが直径なので、角Cは直角である。したがって、三角形ABCは直角三角形である。

ピタゴラスの定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$4^2 = (\frac{4}{3})^2 + BC^2$

$16 = \frac{16}{9} + BC^2$

$BC^2 = 16 - \frac{16}{9} = \frac{144 - 16}{9} = \frac{128}{9}$

$BC = \sqrt{\frac{128}{9}} = \frac{\sqrt{128}}{3} = \frac{\sqrt{64 \times 2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 辺ACの長さ: $\frac{4}{3}$

(2) 辺BCの長さ: $\frac{8\sqrt{2}}{3}$